da Lebesgue » 03/05/2024, 11:02
In generale, per esercizi di questo tipo conviene ragionare così:
la funzione è continua nel punto? No, allora a maggior ragione non è ivi differenziabile.
Infatti se una funzione è differenziabile in un punto, allora lì deve essere in particolare continua.
Se invece è continua, allora provo a vedere cosa succede alle derivate parziali (ricordiamo anche che per il teorema del differenziale totale, se una funzione è continua in un punto e in un intorno di tale punto le derivate parziali esistono e sono continue, allora la funzione è differenziabile in quel punto).
In alternativa, dopo averne appurato la continuità, si prova ad usare la definizione di differenziabilità:
una funzione $f$ è differenziabile in un punto $(x_0,y_0)$ se vale:
$ f(x,y) = f(x_0,y_0) + (\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0) \cdot (x - x_0) + (\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0)\cdot (y-y_0) + o(\sqrt((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2)) $
Ovvero, brutalmente, posso scrivere il suo sviluppo di Taylor al prim'ordine.
Dunque, usando la definizione, bisogna controllare che il
$\lim_((x,y) \to (x_0,y_0)) ( f(x,y) - f(x_0,y_0) -(\partial f)/(\partial x)(x_0,y_0) \cdot (x - x_0) - (\partial f)/(\partial y)(x_0,y_0) \cdot (y - y_0) ) / (\sqrt((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2)) = 0 $
Nella funzione che hai presentato tu, ovvero:
$f(x,y) = x/(x^2+y^2)$
Basta controllare cosa succede nell'origine, e si vede subito che salta la continuità, ad esempio perché
$f(0,y) = 0$, mentre $f(x,0) = 1/x$ che tende a $\pm \infty$ per $x \to 0^\pm$, dunque non essendo continua nell'origine, non è neanche differenziabile.