Dubbi semplificazione limite di successione

[Quasar3.14]

Ciao a tutti,

mi sono imbattuto in questo esercizio su degli appunti e vorrei sapere che tipo di semplificazione è stata effettuata(e se è stata eseguita correttamente).

L'esercizio è il seguente $\lim_{n \to \+infty} n^2(root(3)(n^3+8)-n) $

I primi passaggi sono chiari, simili ad altri passaggi che mi avete insegnato in altri topic. Viene applicata la razionalizzazione inversa sfruttando il prodotto notevole della differenza tra cubi, con $a=root(3)(n^3+8)$ e $ b=n$
Si ottieni quindi $\lim_{n \to \+infty} (8n^2)/(root(3)((n^3+8)^2 +nroot(3)(n^3+8) + n^2)$

Ora viene diviso tutto per $n^2$ ma non capisco come si arrivi poi a $\lim_{n \to \+infty} (8)/(root(3)((1+8/n^3)^2 root(3)(1+8/n^3) + 1)$



Come viene semplificata la $n$ che moltiplica il secondo membro al denominatore $nroot(3)(n^3+8)$ ?

Cosi come non mi sono chiari i passaggi che portano da $root(3)((n^3+8)^2$ e $root(3)((n^3+8)$ a $root(3)((1+8/n^3)^2$ e $ root(3)(1+8/n^3)$

Grazie

[pilloeffe]

Ciao Quasar3.14,

No, ci sono degli errori, mi sa che devi rivedere l'argomento dei radicali...
Se il limite proposto è quello che hai scritto nell'OP si ha:

$ \lim_{n \to +\infty} n^2(\root(3)(n^3+8)-n) = \lim_{n \to +\infty} n^2(\root(3)(n^3+8)-\root(3)(n^3))$

Quindi posto $a := \root(3)(n^3+8) $ e $b = \root(3)(n^3) $, sfruttando l'identità $a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} $ si ha:

$ \lim_{n \to +\infty} n^2(\root(3)(n^3+8)-n) = \lim_{n \to +\infty} n^2(\root(3)(n^3+8)-\root(3)(n^3)) =$

$ = \lim_{n \to +\infty} \frac{8n^2}{\root(3){(n^3+8)^2} + \root(3)(n^3(n^3 + 8)) + n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{8n^2}{n^2(\root(3){1 + 16/n^3 + 64/n^6} + \root(3)(1 + 8/n^3) + 1)} = $

$ = \lim_{n \to +\infty} \frac{8}{\root(3){1 + 16/n^3 + 64/n^6} + \root(3)(1 + 8/n^3) + 1} = 8/3 $

[Quasar3.14]

Ti ringrazio pilloeffe, adesso mi torna!