Eq differenziali:curve caratteristiche e costante di integrazione

[Marthy_92]

Buonasera a tutti. Ho un dubbio riguardo alla risoluzione
di equazioni diff.li a derivate parziali col metodo delle caratteristiche.
L'equazione differenziale è

$ r\frac{partial R}{partial r}+ 1/3 v \frac{partial R}{partial v}=0 $

con $ R=R(r,v) $
Le curve caratteristiche soddisfano l'uguaglianza

$ \frac{dr}{r}= (dv)/(1/3v) $

che integrata fornisce $ ln r =ln v^3 + ln \omega $ .

Dunque una qualsiasi funzione $R$ di $ \omega = r/v^3 $ soddisfa
l'equazione a derivate parziali.
Ma se integro prendendo come costante
$- ln \omega $ allora si ha che $ \omega = v^3/r $
è l'argomento da cui dipende la mia funzione $R$.

Dunque quale tra le due è la giusta soluzione da considerare?

[gugo82]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Il punto è che vi addestrano a qualcosa, senza insegnarvi nulla.
Quando comincerete a capirlo sarà tardi.

[Marthy_92]

gugo82 scusami ma non ho bisogno di un commento, ma di un suggerimento che mi aiuti a capire. Visto che tra appunti e dispense online non è chiarito

[gugo82]

Hai bisogno di studiare da un buon libro, innanzitutto, poi viene il resto.
Comunque, ne ho parlato anni fa in due/tre post in questa discussione.

[Marthy_92]

L'equazione per la funzione R(r,v) va risolta nel mio contesto di studio, per trovare le variabili canoniche di un operatore. Per cui non credo che ci sia una condizione iniziale esplicita da assegnare: quantomeno il professore non la ha mai assegnata nella ricerca delle variabili canoniche

Invece quando risolviamo problemi ai valori iniziali, la condizione iniziale determinava univocamente il segno della costante di integrazione

[ingres]

Ma se integro prendendo come costante $−ln omega$ allora si ha che $omega=v/r^3$

Forse sto sbagliando in maniera grossolana, ma non mi sembra che sia così. Direi piuttosto che sia $omega = v^3/r$, che però è un risultato in accordo con il precedente. Dire che R è una funzione di $omega = r/v^3$ oppure di $omega = v^3/r$ è la stessa cosa (ovviamente se $ r ne 0$ e $ v ne 0$).

Tra l'altro sostituendo nell'equazione originaria si vede facilmente che prendere $omega=v/r^3$ non soddisfa l'equazione.

[pilloeffe]

Ciao Marthy_92,

Concordo con ingres.
Data la PDE

$ r\frac{partial R}{partial r} + 1/3 v \frac{partial R}{partial v}=0 $

il metodo delle caratteristiche prevede di porre $R(s)=R(r(s),v(s))$ dalla quale si ottiene

$\frac{\text{d}R}{\text{d}s} = \frac{\text{d}r}{\text{d}s} R_r + \frac{\text{d}v}{\text{d}s} R_v $

Ne segue che

$ \frac{\text{d}R}{\text{d}s} = 0 $

$ \frac{\text{d}r}{\text{d}s} = r \implies r(s) = c_1 e^s $

$ \frac{\text{d}v}{\text{d}s} = 1/3 v \implies v(s) = c_2 e^{s/3} $

Supponendo per comodità unitarie tutte le costanti si ha $v^3 = e^s = r $ per cui la soluzione della PDE proposta è una qualsiasi funzione di $ r/v^3 $, per esempio $c r/v^3 = crv^{-3}$ ($c$ costante), infatti sostituendo tale soluzione nella PDE proposta $ r\frac{partial R}{partial r} + 1/3 v \frac{partial R}{partial v} = 0 $ si ha:

$ r c/v^3 + 1/3 v \cdot (- 3) c r v^{-4} = 0 $

$ r c/v^3 - r c/v^3 = 0 $

Vero. \( \displaystyle \Box \)

[gugo82]

L'equazione per la funzione R(r,v) va risolta nel mio contesto di studio, per trovare le variabili canoniche di un operatore.

My bad, non ho chiesto qual è il tuo "contesto di studio" (qualsiasi cosa ciò significhi)... Qual è?

Per caso prevede di impostare e risolvere sistemi di EDO solo in maniera meccanica, senza avere idea di come si faccia in maniera corretta?

Per cui non credo che ci sia una condizione iniziale esplicita da assegnare: quantomeno il professore non la ha mai assegnata nella ricerca delle variabili canoniche

Hai mai incontrato teoremi che garantiscono l'esistenza di soluzioni (e talvolta la loro unicità) senza accoppiare alla EDO o al sistema di EDO qualche tipo di condizione?
Secondo te perché?

Invece quando risolviamo problemi ai valori iniziali, la condizione iniziale determinava univocamente il segno della costante di integrazione

Probabilmente, il problema è che ti hanno spacciato come "verbo" (e tu ci hai pure creduto) il fatto che quello sia l'unico modo o, anche peggio, che sia l'unico modo corretto per fare i conti.
E invece, appena metti il naso fuori dagli eserciziari pensati per gli ingegneri di mille anni fa (tipo gli Schaum's, che, per carità, sono carini, ma cantano sempre 1/4 della messa e si concentrano molto sui compiti manuali), ti accorgi che no, non è così: quello è il modo veloce e basta... E ti accorgi anche che le cose si capiscono meglio se fai i conti correttamente, piuttosto che velocemente.


P.S.: Se "contesto di studio" è una locuzione carina per dire "non studio Matematica, ma Fisica/Ingegneria/Chimica/etc... Quindi queste cose non mi interessano", dovresti riflettere sul fatto che per fare applicazioni serve conoscere ed avere capito molto a fondo la teoria.

[Marthy_92]

ingrese e pilloeffe, grazie per il chiarimento In effetti non mi sono
mai soffermata su questa cosa. Parlando di dipendenza funzionale, dire

$ \omega= r/v^3 $ oppure $ \omega= v^3/r $

è la stessa cosa ? (supponendo $ r,v \ne 0 $ )


Grazie anche a gugo82. Per rispondere al tuo discorso:
sono iscritta al cdl di matematica e attualmente
sto preparando l'esame di "Simmetrie di Lie di eq differenziali",
e devo trovare le simmetrie di equazioni per ridurne l'ordine.
Chiaramente nel corso di Analisi 2 ho visto tutti i relativi
teoremi per le eq differenziali ordinarie di esistenza e unicità,
con condizioni iniziali.
In questo corso di simmetrie, abbiamo "preso in prestito" il
metodo delle caratteristiche (trascurando le condizioni iniziali)
approfondito in un altro corso, con la considerazione
che il sistema per le curve caratteristiche, che in questo caso è :

$ { ( (dr)/(ds)= r ),( (dv)/(ds)= 1/3v ):} $

equivale a considerare, più rapidamente, l'uguaglianza

$ (dr)/r = (dv)/(1/3v) $

[gugo82]

@Marthy_92: In bocca al lupo.

Ah, Matematica non è una facoltà; è un corso di laurea.