diavoletto89 ha scritto:Ciao,intanto complimenti.Grazie a questo topic ho risolto diversi dubbi.
Ora volevo chiedervi,devo trovare il dominio di questa funzione
$\int_0^(x^2)e^t/sqrt(1-t)dt$
non riesco a capire cosa cambia col fatto che ho $x^2$ come estremo sup
Poi per studiarne la derivabilità è sufficiente fare il dominio della derivata prima o devo fare altro??
Poi un ultima cosa,in questa funzione mi viene chiesto di verificare se è limitata e di calcolare eventuali estremi e/o asintoti
$\int_1^(x)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt$
ho studiato il dominio che è [1;2[
Essendo $\int_1^(2)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt=+oo$ allora superiormente non è limitata.
Per vedere se è limitata inferiormente posso fare il $\lim_{x \to \1}\int_1^(x)e^t/(sqrt(1-t)log(3-t))dt$ ?
Sempre se è giusto quel che ho scritto,il valore trovato se è finito è l'ordinata dell'estremo?L'estremo sarebbe (1,0)?
Grazie anticipatamente a chi risponderà!
Ecco i miei commenti :
A) $F(x) = int_0^(x^2) e^t*dt/sqrt(1-t) $
a) funzione integranda $f(t)$ - Dominio :$1-t > 0 $ e quindi $t<1$;
$lim_(t to 1^(-)) f(t)=+oo$ ; $f(0) = 1$ ; $ lim_(t to -oo) f(t) = 0^(+) $; $f(t) >0 $ sempre nel dominio.
b) $F(x) $-funzione integrale
Dominio : $1-x^2 > 0 $ da cui $ -1<x<1 $ , ecco un primo effetto di $x^2$ come estremo di integrazione.
$F(0) = 0 $ ; $ F(x) > 0 $ per $0<x<1$ ; $lim_(x to 1^(-))F(x) = c $( circa $4.06$)
La presenza di $x^2$ come estremo rende , in questo caso, simmetrica rispetto all'asse y la funzione integrale , quindi si ha anche $lim_(x to -1^(+))F(x) = c$.
A causa della presenza di $x^2 $si ha che $ F'(x)=(2*x*e^(x^2))/sqrt(1-x^2) $[invece che $F'(x)=(e^(x))/sqrt(1-x)$].
$F(x)$ ha un minimo in $x=0 $ ed è decrescente per $ -1<x<0$ e crescente per $ 0<x<1$.Il dominio di $F'(x) $ è lo stesso di $F(x)$.
B) $ F(x) = int_1^x (e^t*dt)/(sqrt(1-t)*ln(3-t))$.
a) $f(t)$ -dominio : $t<1$ ; inoltre $lim_(t to-oo)f(t)=0^(+)$ ;$lim_(t to 1^(-) )f(t)=+oo$; $ f(t) > 0 $ sempre nel dominio.
Poichè $int_1^x f(t)dt = - int_x^1 f(t)dt $ si deduce che $F(x)<0 $ sempre eccetto che $F(1) = 0 $.
$F'(x)= e^x/(sqrt(1-x)*ln(3-x)) > 0 $ sempre , quindi $F(x)$ sempre crescente ; inoltre $lim_(x to 1^(-1)) F'(x) =+oo$
e quindi in $x=1 $ la curva parte con tangente verticale.
Verifichiamo ora $ lim_(x to -oo) F(x) =-lim_(x to -oo) int_x^1 e^t*dt/(sqrt(1-t)*ln(3-t)) $ .Nell' intorno di $-oo $ la funzione integranda è infinitesima di ordine maggiore di qualunque potenza positiva di $x $ e quindi l'integrale esiste finito .
Pertanto per $x to -oo , F(x) $ ha asintoto orizzontale di valore $alpha <0$ . Per conoscere il valore esatto di $alpha $ andrebbe calcolato l'integrale.
Massimo assoluto di $F(x)$ in $x=1$ e di valore $0$.
Conclusione :
Dominio di $F(x) : (-oo, 1]$ ; $F(x) $ è limitata in quanto si ha : $ alpha< F(x) <=0 $.
Edit : corretto comportamento della prima funzione $F(x) $ in $ +-1 $ indicata in A).
??
