Seguendo il motto:
Un simbolo di Landau al giorno leva il Matematico di torno,
proseguiamo il nostro percorso; oggi è il turno del simbolo \( \displaystyle \text{o} \) , che si legge "o piccolo".
Diamo la definizione:
Diciamo che \( \displaystyle f(x) \) è un \( \displaystyle \text{o} \) di \( \displaystyle g(x) \) in \( \displaystyle x_0 \) se:
(2) \( \displaystyle \forall \varepsilon >0,\ |f(x)|\leq \varepsilon\ |g(x)|\ \text{definitivamente intorno ad }x_0 \)
ossia se:
\( \displaystyle \forall \varepsilon >0,\ \exists I_\varepsilon (x_0)\ \text{intorno di } x_0:\ \forall x\in I_\varepsilon (x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\} ,\ |f(x)|\leq \varepsilon\ |g(x)| \) ;
in tal caso scriviamo:
\( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (g(x)) \) oppure \( \displaystyle f(x)=\text{o}(g(x))\ \text{in } x_0 \)
(il punto \( \displaystyle x_0 \) può anche essere omesso se ciò non crea ambiguità).
C'è somiglianza, ma anche grande differenza, tra la (
2) e la (
1) (che definisce il simbolo \( \displaystyle \text{O} \) ).
Infatti anche la (
2) vuol dire che, per ogni \( \displaystyle x\in X\cap Y \) sufficientemente vicino ad \( \displaystyle x_0 \) , la grandezza \( \displaystyle |f(x)| \) si può maggiorare con una grandezza direttamente proporzionale a \( \displaystyle |g(x)| \) (somiglianza!); tuttavia in questo caso si richiede che la costante di proporzionalità \( \displaystyle \varepsilon \) possa essere scelta "arbitrariamente piccola" senza intaccare la validità locale della maggiorazione (grandissima differenza!).
Notiamo esplicitamente che anche in questo caso non abbiamo posto alcuna restrizione al comportamento di \( \displaystyle f(x) \) e \( \displaystyle g(x) \) intorno ad \( \displaystyle x_0 \) .
Osservazione: Dalla definizione appena data si desume immediatamente che il simbolo \( \displaystyle \text{o}_{x_0} (1) \) può essere usato per denotare le funzioni infinitesime intorno ad \( \displaystyle x_0 \) .
Infatti, sostituendo \( \displaystyle g(x)=1 \) in (
2), troviamo che \( \displaystyle f(x) \) è infinitesima in \( \displaystyle x_0 \) . \( \displaystyle \diamondsuit \)
Osservazione Importante: Se la funzione \( \displaystyle g(x) \) è definitivamente non nulla intorno ad \( \displaystyle x_0 \) (il che vuol dire che esiste un intorno \( \displaystyle J(x_0) \) tale che \( \displaystyle g(x)\neq 0 \) per \( \displaystyle x\in J(x_0)\cap Y\setminus \{ x_0\} \) ), la (
2) equivale a dire che il rapporto \( \displaystyle \tfrac{f(x)}{g(x)} \) è infinitesimo in \( \displaystyle x_0 \) , ossia che risulta:
\( \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| =0 \) ;
ciò si dimostra, semplicemente, notando che nelle ipotesi poste si può dividere membro a membro in (
2) per \( \displaystyle |g(x)| \) ottenendo:
\( \displaystyle \forall \varepsilon > 0,\ \exists I_\varepsilon (x_0)\ \text{intorno di } x_0:\ \forall x\in I_\varepsilon (x_0)\cap X\cap Y\setminus \{ x_0\},\ \left| \frac{f(x)}{g(x)}\right| \leq \varepsilon \) . \( \displaystyle \diamondsuit \)
In particolare, dall'
Osservazione Importante segue immediatamente il:
Criterio della \( \displaystyle \text{o} \) : Se \( \displaystyle g(x) \) è definitivamente non nulla intorno ad \( \displaystyle x_0 \) e \( \displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} =0 \) , allora risulta \( \displaystyle f(x)=\text{o}(g(x))\ \text{in } x_0 \) .
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dim.: Per ottenere la tesi basta ripercorrere "a passo di gambero" la dimostrazione dell'Osservazione Importante. \( \displaystyle \square \)
In generale, il criterio fornisce una condizione sufficiente affinchè valga \( \displaystyle f(x)=\text{o} (g(x))\ \text{in } x_0 \) ma non necessaria, come mostra il seguente:
Controesempio: Siano:
\( \displaystyle f(x):=\begin{cases} (x-1)^2 &\text{, se } x\geq 1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases} \) ,
\( \displaystyle g(x):= \begin{cases} x-1 &\text{, se } x\geq 1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases} \) ,
definite in \( \displaystyle X=Y=\mathbb{R} \) e sia \( \displaystyle x_0=0 \) .
Evidentemente \( \displaystyle g(x) \) non è definitivamente non nulla intorno a \( \displaystyle 0 \) ed il rapporto \( \displaystyle \tfrac{f(x)}{g(x)} \) non è definito in alcun intorno di \( \displaystyle 0 \) , ergo il \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} \) non può essere calcolato.
Tuttavia la (
2) è banalmente soddisfatta in ogni intono di \( \displaystyle 0 \) di ampiezza \( \displaystyle <1 \) , quindi \( \displaystyle f(x)=\text{o}(g(x))\ \text{in } 0 \) .
Esempi:
A. Come nel post precedente, siano \( \displaystyle f(x):=x^{101} \) e \( \displaystyle g(x):=x \) definite in \( \displaystyle X=Y=\mathbb{R} \) ed \( \displaystyle x_0=0 \) (che è di accumulazione per \( \displaystyle X\cap Y \) ).
Evidentemente \( \displaystyle g(x) \) è definitivamente non nulla intorno a \( \displaystyle 0 \) , perciò ha senso formare il rapporto \( \displaystyle \tfrac{f(x)}{g(x)} =x^{100} \) ; tale rapporto è infinitesimo per \( \displaystyle x\to 0 \) , per cui dal
Criterio della \( \displaystyle \text{o} \) segue che \( \displaystyle x^{101}=\text{o} (x)\ \text{in } 0 \) . \( \displaystyle \spadesuit \)
B. Come nel post precedente, siano \( \displaystyle f(x):=x \) e \( \displaystyle g(x):=\sin x \) definite in \( \displaystyle X=Y=\mathbb{R} \) ed \( \displaystyle x_0:=0 \) (che è di accumulazione per \( \displaystyle X\cap Y \) ).
Visto che \( \displaystyle g(x) \) è definitivamente non nulla intorno a \( \displaystyle 0 \) (difatti basta prendere \( \displaystyle J(x_0)=]-\pi ,\pi[ \) ), si può formare il rapporto \( \displaystyle \tfrac{x}{\sin x} \) definito in un opportuno intorno di \( \displaystyle 0 \) privato di \( \displaystyle 0 \) stesso; tale rapporto ha limite finito e non nullo in \( \displaystyle 0 \) (tale limite è \( \displaystyle =1 \) ) e perciò non possiamo usare il
Criterio della \( \displaystyle \text{o} \) . Quanto trovato ci fa pensare che risulta \( \displaystyle x\neq \text{o}(\sin x)\ \text{in } 0 \) ed ora vedremo se ciò è vero.
Per dimostrare che \( \displaystyle x\neq \text{o} (\sin x) \) dobbiamo far vedere che:
(*) \( \displaystyle \exists \bar{\varepsilon} >0:\ \forall I(0)\ \text{intorno di } 0, \exists \bar{x}\in I(0)\setminus \{ 0\}:\ |\bar{x}|>\bar{\varepsilon} |\sin \bar{x}| \)
(notiamo che quella appena scritta è la negazione formale della (
2)). Sappiamo che \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \tfrac{x}{\sin x} =1 \) e ciò implica che abbiamo anche:
\( \displaystyle \lim_{x\to 0} \left| \frac{x}{\sin x}\right| =1 \) ;
usando la definizione di limite, in corrispondenza del numero positivo \( \displaystyle \tfrac{1}{3} \) troviamo un intorno \( \displaystyle U(0) \) (abbastanza piccolo, in modo che \( \displaystyle \sin x \neq 0 \) per \( \displaystyle x\in U(0) \) ) tale che:
\( \displaystyle \forall x \in U(0)\setminus \{ 0\},\ \left| \frac{|x|}{|\sin x|} -1\right| <\frac{1}{3} \)
ma ciò equivale a dire che:
\( \displaystyle \forall x\in U(0)\setminus \{ 0\},\ \frac{2}{3}\ |\sin x| < |x| <\frac{4}{3}\ |\sin x| \) ;
scelto allora \( \displaystyle \bar{\varepsilon} =\tfrac{2}{3} \) , comunque si fissi l'intorno \( \displaystyle I(0) \) , avremo certamente \( \displaystyle I(0)\cap U(0)\setminus \{ 0\} \neq \varnothing \) perciò, comunque vorremo scegliere \( \displaystyle \bar{x} \in I(0)\cap U(0)\setminus \{ 0\} \) , troveremo:
\( \displaystyle \frac{2}{3}\ |\sin \bar{x}| < |\bar{x}| \) ,
quindi vale la (*) con \( \displaystyle \bar{\varepsilon} =\frac{2}{3} \) . Ne consegue che \( \displaystyle x\neq \text{o} (\sin x) \) , come volevamo. \( \displaystyle \spadesuit \)
C. Siano \( \displaystyle f(x):=\tfrac{1}{x\ln x} \) e \( \displaystyle g(x):=\tfrac{1}{x} \) definite, rispettivamente, in \( \displaystyle X=\mathbb{R}\setminus \{ 0\} \) ed \( \displaystyle Y=]0,+\infty[ \) e sia \( \displaystyle x_0=+\infty \) (che è d'accumulazione per \( \displaystyle X\cap Y \) ).
Dato che \( \displaystyle g(x) \) è definitivamente non nulla intorno a \( \displaystyle +\infty \) e dato che \( \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \tfrac{f(x)}{g(x)}=0 \) , il
Criterio della \( \displaystyle \text{o} \) si applica al caso in esame. Ne consegue \( \displaystyle \tfrac{1}{x\ln x} =\text{o} (\tfrac{1}{x})\ \text{in } +\infty \) . \( \displaystyle \spadesuit \)
Come il simbolo \( \displaystyle \text{O} \) , anche il simbolo \( \displaystyle \text{o} \) gode di importanti "proprietà algebriche", alcune delle quali sono riassunte nell'elenco che segue:
i) Se risulta:
- \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (g(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) oppure
- \( \displaystyle f(x)=\text{O}_{x_0} (g(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) oppure
- \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (g(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x)) \) ,
allora \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) .
ii-a) Se \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) , allora \( \displaystyle f(x)+g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) .
ii-b) Se \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x)) \) , allora \( \displaystyle f(x)+g(x)=\text{O}_{x_0} (h(x)) \) .
iii) Se \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (g(x)) \) e \( \displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \) , allora \( \displaystyle \alpha f(x)=\text{o}_{x_0} (g(x)) \) .
iv-a) Se \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{o}_{x_0} (k(x)) \) allora \( \displaystyle f(x)g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)k(x)) \) ; in particolare \( \displaystyle f^n(x)=\text{o}_{x_0} (h^n(x)) \) per ogni \( \displaystyle n\in \mathbb{N} \) .
iv-b) Se \( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)) \) e \( \displaystyle g(x)=\text{O}_{x_0} (k(x)) \) allora \( \displaystyle f(x)g(x)=\text{o}_{x_0} (h(x)k(x)) \) .
Tali proprietà si dimostrano applicando direttamente le definizioni (
1) e (
2), perciò la dimostrazione è lasciata al lettore interessato.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
A titolo d'esempio, proviamo la ii-b).
Dim.: Per la (1) esiste un \( \displaystyle P\geq 0 \) tale che \( \displaystyle |g(x)|\leq P\ |h(x)| \) definitivamente intorno ad \( \displaystyle x_0 \) ; per la (2), fissato \( \displaystyle \varepsilon =1 \) si ha \( \displaystyle |f(x)|\leq |h(x)| \) definitivamente intorno ad \( \displaystyle x_0 \) .
Ne consegue che \( \displaystyle |f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq (1+P)\ |h(x)| \) definitivamente intorno a \( \displaystyle x_0 \) , sicché è verificata la (1) con \( \displaystyle M=1+P \) . \( \displaystyle \square \)
Le proprietà
i)-
iv-b) si possono esprimere più sinteticamente come segue:
i') \( \displaystyle \text{o}_{x_0}(\text{o}_{x_0}(h(x))) =\text{o}_{x_0}(\text{O}_{x_0}(h(x)))=\text{O}_{x_0}(\text{o}_{x_0}(h(x)))=\text{o}_{x_0}(h(x)) \) .
ii'-a) \( \displaystyle \text{o}_{x_0}(h(x))+\text{o}_{x_0}(h(x))=\text{o}_{x_0}(h(x)) \) .
ii'-b) \( \displaystyle \text{o}_{x_0}(h(x))+\text{O}_{x_0}(h(x))=\text{O}_{x_0}(h(x)) \) .
iii') \( \displaystyle \alpha\cdot \text{o}_{x_0}(g(x)) =\text{o}_{x_0}(g(x)) \) per \( \displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \) .
iv'-a) \( \displaystyle \text{o}_{x_0}(h(x))\cdot \text{o}_{x_0}(k(x)) =\text{o}_{x_0}(h(x)k(x)) \) ed \( \displaystyle \big[ \text{o}_{x_0}(h(x))\big]^n =\text{o}_{x_0}(h^n(x)) \) per \( \displaystyle n\in \mathbb{N} \) .
iv'-b) \( \displaystyle \text{o}_{x_0}(h(x))\cdot \text{O}_{x_0}(k(x)) =\text{o}_{x_0}(h(x)k(x)) \) .
Inoltre, dal raffronto delle (
1) e (
2) segue immediatamente che:
\( \displaystyle f(x)=\text{o}_{x_0}(g(x))\quad \Rightarrow \quad f(x)=\text{O}_{x_0}(g(x)) \) .
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)