determinare se un vettore appartiene a una base

[paolo1995]

Ah già, me l ero addirittura scordato il terzo punto, mi sa che ho avuto una genialata, o forse ho sbagliato come prima
dato che bisogna formare una combinazione lineare ho fatto:
a (1,1,1,0)+b (0,2,0,1)+c (k, 0, k,-1)=0 poi da queste ho trovato quattro equazioni e svolgendole alla fine ho trovato k=2
Quindi il vettore diventa (2,0,2,-1). Facendo Gauss questa volta nell ultima riga trovo (0,0,0,0) quindi il rangoè 2 quindi ci sono 2 vettori linearmente indipendenti (quelli della base) e l altro é linearmente dipendente coi primi 2 quindi si puo scrivere come combinazione lineare di essi e dunque appartiene al sottospazio generato da questi 2

[minomic]

C'è qualche problema... Diciamo che prendiamo una base di $W$ e le affianchiamo il vettore dipendente dal parametro. Otteniamo quindi
\[
\begin{bmatrix}
1&0&k\\1&2&0\\1&0&k\\0&1&1
\end{bmatrix}
\] A questo punto, affinché il terzo vettore appartenga al sottospazio generato dai primi due, dovremo avere che la terza colonna è linearmente dipendente dalle prime due. Questo equivale a richiedere che il rango della matrice sia $2$, cioè che vi siano solo due vettori linearmente indipendenti. Procediamo con la tecnica dei minori orlati (teorema di Kronecker): individuiamo un minore $2xx2$ invertibile, ad esempio quello nell'angolo in alto a sinistra
\[
\begin{bmatrix}
1&0\\1&2
\end{bmatrix}
\] Ora procediamo a costruire gli orlati ed otteniamo le seguenti matrici $3xx3$:
\[
\begin{bmatrix}
1&0&k\\1&2&0\\1&0&k
\end{bmatrix} \qquad
\begin{bmatrix}
1&0&k\\1&2&0\\0&1&1
\end{bmatrix}
\] Dobbiamo imporre che i determinanti di queste matrici siano nulli: se così non fosse allora esisterebbe un minore $3xx3$ invertibile, quindi la matrice avrebbe rango $3$, quindi i tre vettori sarebbero linearmente indipendenti, quindi il terzo vettore non apparterrebbe al sottospazio generato dai primi due.
Per quanto riguarda la prima matrice, si vede bene che la prima riga e la terza sono uguali per qualsiasi valore di $k$, quindi il determinante è sempre nullo: non dobbiamo imporre alcuna condizione.
Per quanto riguarda la seconda, calcoliamo il determinante che viene $k+2$. A questo punto dobbiamo imporre
\[
k+2 = 0
\] e quindi $k=-2$ è il valore cercato.

[paolo1995]

Caspita grazie mille, da solo non ci sarei mai arrivato a questa soluzione!!!