proiezione lineare

[klodette89]

Salve ragazzi..
Ho un bel problema con la funzione Proiezione Lineare.
Dato uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ e un sottospazio vettoriale $U$, dimostrare che è sempre data una $K-$Proiezione Lineare su $U$, cioè un $\pi_U in Hom(V,V)$ con $Im\pi=U$ e $AA u in U: \pi_U(u)=u$.
Inoltre, è $\pi_U$ unica? E l'applicazione $\pi:V \to V$ che soddisfa $Im\pi=U$ e $AA u in U: \pi_U(u)=u$, è lineare?

Qualcuno può aiutarmi?
Grazie

[Pappappero]

Chi e' $K$?

Comunque, prova a prendere una base di $U$ e completala a una base di $V$. Una volta scritto un vettore di $V$ in questa base, prova a definire (nel modo piu' naturale che ti viene in mente) una mappa da $V$ a $U$.

[klodette89]

$k$ è il campo degli scalari. Allora la base di $U$ come: $B_U={u_1,....,u_s}$ e la base di $V$ sarà $B_V={u_1,....,u_s,v_(s+1),.......,v_n}$? Il generico vettore $v$ di $V$ sarà $v=$$\sum_{i=1}^{i=s} \lambda_i u_i$+$\sum_{i=s+1}^{i=n} \lambda_i v_i$ ?
Così?

[Pappappero]

Esatto...ora pensiamo a cosa vuol dire proiettare su $U$. Il significato e' un po' "dimenticarsi di tutto quello che non succede su $U$". Quindi quale potrebbe essere una buona mappa di proiezione $V \to U$.

[klodette89]

$\pi: V \to U$ con $\pi(\sum_{i=1}^{i=s} \lambda_i u_i + \sum_{i=s+1}^{i=n} \lambda_i v_i)= \sum_{i=s+1}^{i=n} \lambda_i u_i $?

[Pappappero]

Esatto...

Quindi questa e' una possibile mappa di proiezione.

Come si potrebbe fare per fabbricarne altre? In particolare, che scelte abbiamo fatto per definire questa mappa di proiezione?

[klodette89]

Beh devo variare i $\lambda$? O porre $ \pi(\sum_{i=1}^{i=s} \lambda_i u_i + \sum_{i=s+1}^{i=n} \lambda_i v_i)= u_i $?

[Pappappero]

Attento...se poni $\pi(v) = u_i$ non e' piu' una proiezione su $U$ perche' su $U$ non vale l'identita' (e non e' neanche piu' lineare).

L'idea e' trovare un modo per scrivere $v$ con dei $\lambda$ diversi (almeno nelle direzioni delle $u_i$. Quindi la domanda diventa: da cosa dipendono i $\lambda_i$?

[klodette89]

$ \pi(\sum_{i=1}^{i=s} \lambda_i u_i + \sum_{i=s+1}^{i=n} \mu_i v_i)= u_i $ forse? intendi dire così?

[Pappappero]

No...questa non e' una proiezione e non e' neanche lineare!

Abbiamo detto che la nostra proiezione e' $\pi (\sum_1^s \lambda_i u_i + \sum_{s+1}^n \lambda_i v_i) = \sum_1^s \lambda_i u_i $; in particolare se $v = \sum_1^s \lambda_i u_i + \sum_{s+1}^n \lambda_i v_i$ (per una qualche scelta di $\lambda_i$ che esistono e sono unici per definizione di base), allora $\pi(v) = \sum_{s+1}^n \lambda_i u_i$. Questa ci piace.

Intanto potremmo far vedere che in effetti e' una proiezione, cioe' far vedere che e' un'applicazione lineare (un po' di conti), che l'immagine e' contenuta in $U$ (quasi banale) e che vale l'identita' su $U$ (facile, per definizione).

Poi vogliamo occuparci dell'unicita'. Quindi dobbiamo chiederci: cosa abbiamo usato per definire questa applicazione?

Proviamo a rispondere a queste due domande prima di andare avanti.