Algebra Lineare - Matrice con Parametro

[betti92]

Ciao a tutti !! Ho svolto un esercizio tipo dell'esame ma non posso verificare se l'ho svolto correttamente dato che non ho la soluzione.
Potreste,gentilmente, dirmi se ho svolto correttamente l'esercizio ?

Data la seguente matrice:
$((3,K,0),(K+2,0,K),(-1,K,K))$

1)Dire per quali valori del parametro K la matrice è INVERTIBILE.
Io ho calcolato il determinante (prima ho semplificato per K la secondo colonna, e sempre per K la terza colonna)
Mi risulta il determinante dunque alla fine k*k* (-k-6)
Soluzioni:
per K diverso da 0,-6 la matrice è INVERTIBILE
per K uguale a 0,-6 la matrice non è invertibile

2) Discutere al variare di K la caratteristica
Per K diverso da 0,-6 la caratteristica è 3
Per K=0 la caratteristica è 1
Per k=-6 la caratteristica è 2

3) Posto K=1 determinare l'INVERSA della matrice
-Il determinante mi è uscito = -7
-La trasposta $((3,3,-1),(1,0,1),(0,1,1))$
-La nuova matrice risultante del calcolo del determinante delle sottomatrici eliminando prima riga e prima colonna, seconda riga e seconda colonna e cosi via:
$((-1,1,1),(4,3,3),(3,4,-3))$
-Cambio di segno alle posizioni dispari:
$((-1,-1,1),(-4,3,-3),(3,-4,-3))$
-Calcolo la matrice inversa:
1/-7 * $((-1,1,1),(4,3,3),(3,4,-3))$ = $((1/7,1/7,-1/7),(4/7,-3/7,3/7),(-3/7,4/7,3/7))$



Scusate se magari non ho usato terminologie appropriate.
Grazie in anticipo

[21zuclo]

NON ho guardato il calcoli.. ma il ragionamento è esatto!

Ti insegno solo un trucchetto per poter determinare l'inversa di una matrice 3x3 e di ordine superiore..
per un esempio più semplice partiamo dalla 3x3

se tu hai questa matrice $ A=( ( a_11 , a_12 , a_13 ),( a_21 , a_22 , a_23 ),( a_31 , a_32 , a_33 ) ) $

e vuoi trovare la sua inversa.. puo procedere in questo modo


\( \displaystyle \left(\begin{array}{ccc|ccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&1&0&0\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&0&1&0\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&0&0&1
\end{array}\right) \)

se riesci ad ottenere questo

\( \displaystyle \left(\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&b_{11}&b_{12}&b_{13}\\
0&1&0&b_{21}&b_{22}&b_{23}\\
0&0&1&b_{31}&b_{32}&b_{33}
\end{array}\right) \)

Allora la tua $ A^(-1)=( ( b_(11) , b_(12) , b_(13) ),( b_(21) , b_(22) , b_(23) ),( b_(31) , b_(32) , b_(33) ) ) $

cioè in poche parole questa matrice affiancata $I= ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ devi riuscire a portarla dalla parte opposta.. al suo posto ti uscirà la matrice inversa.

$ (A|I)\to (I|A^(-1)) $

così non hai tutti i complementi algebrici da fare

Ah per passare da qui \( \displaystyle \left(\begin{array}{ccc|ccc}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&1&0&0\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&0&1&0\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&0&0&1
\end{array}\right) \)

a qui \( \displaystyle \left(\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&b_{11}&b_{12}&b_{13}\\
0&1&0&b_{21}&b_{22}&b_{23}\\
0&0&1&b_{31}&b_{32}&b_{33}
\end{array}\right) \)

devi utilizzare il metodo di Gauss

[@melia]

Anche i calcoli sono esatti.

[betti92]

Grazie mille ad entrambi. Davvero gentilissimi