matrice diagonalizzabile

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Salve a tutti!!!
Non riuscivo a capire questo esercizio:

Si dica per quali valori di k la seguente matrice è diagonalizzabile

$ [ [ k , a ] , [ -a , -k ] ] $

non riesco a capire quale ragionamento fare!

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Dunque il polinomio caratteristico viene

$ [ [s-k , -a] , [a , s+k] ] $

Il determinante di questa matrice mi viene:

$ s^2 - k^2 + a^2 = 0 $

Adesso dovrei provare a dare un valore ad $ a $ e $ k $ ? Oppure basta dire che $ s^2 = k^2 - a^2 $ quindi $ s = ( k^2 - a^2)^(1/2) $ ?

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Il polinomio caratteristico non è equivalente se faccio $ s-AI $ e negativizzo tutti gli $ a $ oppure faccio $ AI-s $ e lascio gli $ a $ cosi come stanno, o magari è equivalente ma la forma del polinomio caratteristico è solo $ AI-s $ ?

Comunque se succede che:
a) $ |k| = |a| $ i due autovalori verrebbero 0 tutti e 2, quindi non vengono due valori distinti e la molteplicita algebrica viene 2 e la matrice per trovare la molteplicita geometrica verrebbe uguale ad $ A $ quindi viene 2-2=0 , quindi $ ma $ diversa da $ mg $ quindi non è diagonalizzabile.
b) se $ k=0 $ vengono impossibili, quindi non si possono trovare autovalori e quindi non è diagonalizzabile!

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Che macello!!! in poche parole avevo sbagliato tutto!!!
Quindi la matrice è diagonalizzabile per tutti i valori, eccetto quando si verificano queste condizioni: $ k = a $ e $ k =-a $ e
$ k = 0 $
Grazie mille per l' aiuto ora ho capito più o meno come fare, anche se era meglio iniziare a fare esercizi con i numeri, da solo non ce l'avrei mai fatta! Grazie ancora Sergio!

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Ok ora penso di aver finalmente capito!!!
Quando $ k=a $ oppure $ k=−a $ non è diagonalizzabile , mentre se prendo $ k = 0 $ e' diagonalizzabile perche trovo due autovalori distinti $ +(-a) ^ (1/2) $ ; $ - (-a) ^ (1/2) $

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Ora mi è tutto chiaro, finalmente "sono" riuscito a terminare questo esercizio che mi ha portato via l'anima. Grazie per l'aiuto Sergio e sopratutto per la pazienza!!!