Varietà "immerse" e carte

[Emar]

Cari ragazzi,

Finalmente mi sono deciso a studiare un po' di Geometria Differenziale. Principalmente sto seguendo il Lee, "Introduction to Smooth Manifolds", anche se mi appoggio a innumerevoli altri testi, che mi sta piacendo moltissimo. Dopo aver letto i primi capitoli (essendo per piacere personale procedo un po' saltando) mi sono fermato per cimentarmi con la pratica per cementare quanto appreso. Mi sono scontrato da subito con questo dubbio che riporto.

In questo post ho usato l'aggettivo "immersa" rifacendomi al linguaggio parlato e non come termine tecnico; per capirci, non sapevo come indicare in brevità che \(\mathbb{S}^1 \subset \mathbb{R}^2\).


Uno dei vantaggi della Geometria Differenziale moderna é il fatto che una varietà viene definita come un insieme $M$ astratto soddisfacente certe proprietà. L'insieme non dev'essere per forza un sottoinsieme di uno spazio euclideo.

Prendiamo ad esempio la sfera \(\mathbf{S}^1\) e dimentichiamoci che é un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^2\).
Come possiamo scrivere una carta per questa varietà?
Cerchiamo un diffeomorfismo locale \(\varphi_1: \mathbf{S}^1 \to \mathbb{R}\). A me viene istintivo partire dall'inversa (la parametrizzazione) \(\varphi_1^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbf{S}^1\) e scrivere \(\varphi_1^{-1}(t) = (\cos{t},\sin{t})\).
Se analizzo quel che ho appena scritto mi rendo conto che in realtà io sto implicitamente trattando la varietà come un sottoinsieme del piano euclideo, fornendo come output una coppia di valori che tacitamente rappresentano le componenti del punto rispetto alla base canonica del piano \(\mathbb{R}^2\). In realtà in output dovrei fornire un punto della varietà, ma come posso rappresentare un punto della varietà puramente astratta senza appigli allo spazio in cui essa è immersa?

In questo caso certo, il fatto che \(\mathbf{S}^1 \subset \mathbb{R}^2\) è ovvio, ma mi disturba il fatto che la scelta della struttura differenziabile, e quindi delle coordinate locali, sia pesantemente influenzata dallo spazio in cui la varietà è immersa. E quando la varietà è veramente astratta? Come si possono costruire delle carte?


Spero di essermi riuscito ad esprimere, al limite ci riprovo

Saluti e buone feste!

[Epimenide93]

Premetto che la geometria differenziale non è il mio forte, in quanto finora non mi ci sono mai dedicato seriamente.

Comunque un modo per vedere \(\mathbf{S}^1\) senza "pensarla" immersa in \(\mathbb{R}^2\) è quello di sfruttare una delle sue copie omeomorfe, come ad esempio \(\mathbf{S}^1 = \mathbb{P}^1(\mathbb{R})\), o \(\mathbf{S}^1 = \bar{\mathbb{R}}\) con \(\bar{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\infty\}\) compattificazione di Alexandroff della retta reale. Oppure, ancora, \(\mathbf{S}^1 = \mathbb{R} / \mathbb{Z}\) con la topologia quoziente. Con un po' di sadismo, credo che anche una qualsiasi conica proiettiva reale non degenere vada bene. Spero possa esserti di qualche utilità.

[Emar]

Ti ringrazio della risposta, mi hai dato degli spunti interessanti che mi hanno fatto comprendere quanto assurda sia la mia domanda. Mi spiego: trovare uno spazio/varietà \(M\) che sia omeomorfo a \(\mathbf{S}^1\) é solo un modo per "spostare" il problema. Infatti, al fine di dimostrare che \(M \sim \mathbf{S}^1\) si dovrà esibire un omeomorfismo tra le 2 varietà, ma qui si ripresenta il problema di come trattare i punti di \(\mathbf{S}^1\), la scelta più ovvia é come coppia del piano \(\mathbb{R}^2\), e ci risiamo.

Per uscirne si può lavorare sulle definizione di \(\mathbf{S}^1\). Solitamente, infatti, si definisce:
\[\mathbf{S}^n := \left\{ x \in \mathbb{R}^{n+1} : \ \|x\| = 1\right\}\]
e quindi implicitamente si assume che \(\mathbf{S}^n \subset \mathbb{R}^{n+1}\). Si potrebbe usare come definizione una di quelle da te proposte magari, ma alla fine, credo che proseguire oltre in questa strada sia inutile ai fini delle mia domanda, che aveva un carattere piuttosto pratico.

Insomma, slegarsi dalla scelta delle coordinate dello spazio ambiente è piuttosto arduo e a livello pratico inconcludente. Mi resta un po' un amaro in bocca...

Se qualcuno vuole aggiungere qualche spunto/riflessione è di certo ben accetta.

Ancora buone feste!

[Epimenide93]

Insomma, slegarsi dalla scelta delle coordinate dello spazio ambiente è piuttosto arduo e a livello pratico inconcludente.

Sì e no. Hai anche scelto un oggettino piuttosto scarno per costruire degli esempi. Insomma, pensa alla bottiglia di Klein definita col solito quoziente topologico del quadrato unitario, o come varietà immersa in \(\mathbb{R}^4\). Lavorare col primo modello può essere, anche a fini pratici, molto più utile che lavorare col secondo (stesso dicasi di un toro, o del piano proiettivo). Dipende fondamentalmente da quello che devi fare. In parte, comunque, hai ragione. Le varie definizioni intrinseche delle varietà hanno tanti aspetti pregevoli, e possono esserci ottimi motivi per preferirle a quella estrinseca, ma resta il fatto che non esistono varietà astratte.

[Emar]

Devo metterci un po' le mani e forse certi dubbi mi spariranno.

In effetti trovo il teorema di Whitney forte veramente interessante e a tratti grottesco. Si é fatto di tutto per creare una teoria geometrica che non necessiti di uno spazio ambiente e poi arriva questo teorema e ti dice che ogni varietà può essere immersa in uno spazio euclideo sufficientemente largo... questo guastafeste di Whitney!

Ti ringrazio per la chiacchierata, alla prossima!