spazio vettoriale dei polinomi

[paulucc955]

Ho questo esercizio
U = {f(x) ∈ R2[x] : f(1) = 0}, nel riferimento vettoriale R = (1 + x, 1 − x, x + x^2) di R2[x]

ora se considero il generico polinomio Ao+A1X+A2X^2 e considero la funzione f(1)=A0+A1+A2=0

fin qui tutto ok , il problema sorge quando l'esercizio mi chiede una base la dimensione e le equazioni rappresentative nel riferimento vettoriale R.

[ciampax]

Vediamo di formulare meglio il tutto (perché, per come lo hai fatto tu, meriteresti di essere fustigato in pubblica piazza!).
Abbiamo l'insieme
$$U=\{f(x)\in\mathbb{R}_2[x]\ :\ f(1)=0\}$$
avendo considerato, sullo spazio dei polinomi di grado due nella variabile $x$, il riferimento vettoriale
$$R=\{1+x,\ 1-x,\ x+x^2\}$$
Viene chiesto di determinare una base e le equazioni del sottospazio $U$ (che, tanto per essere precisi, prima andrebbe dimostrato essere un sottospazio, ma la cosa è abbastanza semplice e la lascerei a te).

Cosa vuol dire tutto ciò? Per prima cosa che i polinomi non vanno scritti come hai fatto tu, ma vanno scritti, in forma generale, al modo seguente
$$f(x)=a(1-x)+b(1+x)+c(x+x^2)\in \mathbb{R}_2[x]$$
in quanto bisogna usare il riferimento $R$. Prima di determinare la forma del polinomio generico di $U$ andrebbe tuttavia compreso se $R$ è una base di $RR_2[x]$: anche questa è una cosa abbastanza semplice e di nuovo la lascerei a te come esercizio (la risposta è affermativa, comunque).
Allora procediamo a capire come sono fatti gli elementi di $U$: osserviamo che
$$f(1)=0\ \Rightarrow\ 2b+2c=0\ \Rightarrow\ b+c=0$$
e pertanto il generico polinomio in $U$ riferito a $R$ ha la forma
$$f(x)=a(1-x)+b(1+x)-b(x+x^2)=ae_1+be_2-be_3=(a,b,-b)$$
dove l'ultima è l'espressione in forma di "vettore"avendo indicato i polinomi in $R$ come elementi di una base $\{e_i\}$ di $RR_2[x]$. Questa ultima forma permette di concludere che la dimensione del sottospazio è $2$, che una sua base è data dai polinomi $f_1(x)=1-x,\ f_2(x)=1-x^2$(si ottengono rispettivamente dai vettori $(1,0,0),\ (0,1,-1)$)e che l'equazione rappresentativa risulta la seguente
$$U=\{f(x)=a(1-x)+b(1+x)+c(x+x^2)\ :\ b+c=0\}$$

[paulucc955]

Grazie , ora ho capito . Solo una cosa , in pratica nell'espressione b+c=0 hai posto c=-b , ma si poteva anche fare b=-c giusto?

[ciampax]

Ovvio.