Funzione lineare composta

[teopd]

Ciao a tutti!
Sto cercando di capire come risolvere il seguente esercizio: sia $f : R^4 → R^3$ la funzione lineare la cui matrice, rispetto alle basi canoniche, è A:
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & -1 \\
4 & t & 6 & 1 \\
-1 & 2 & 3 & 2
\end{pmatrix}

Si ponga ora $t = 0$. Si dica se esiste una funzione lineare $g : R^3 → R^4$ tale che $f ◦ g : R^3 → R^3 $ sia
l’identità. Se una tale $g$ esiste, si stabilisca se essa è unica.

Allora io ho capito che il fatto che $f ◦ g = I_d $ significa che devo controllare se $g$ è suriettiva e se $f$ è iniettiva, ma non capisco il motivo di questa verifica.
Inoltre qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come andrebbe risolto bene l'esercizio?
Grazie

[apatriarca]

Per prima cosa, \(g\) non sarà mai suriettiva in quanto funzione lineare da uno spazio vettoriale di dimensione 3 a uno di dimensione 4. Deve però essere certamente iniettiva perché l'identità è iniettiva. \(f\) invece dovrà essere suriettiva (l'immagine della composizione deve essere infatti tutto \(\mathbb R^3\)). Non potrà invece essere iniettiva per ragioni di dimensione di dominio e codominio. Qualora \(f\) non sia suriettiva puoi già stabilire che non è possibile trovare funzioni \(g\) che rispettino la condizione. In caso contrario tale funzione esiste. Immagino possa essere utile come esercizio cercare di calcolarla.