nucleo e immagine

[6x6Casadei]

Salve, non sapevo se andava bene questo esercizio:
Trovare nucleo e immagine dell'applicazione lineare $ RR^2->RR^3 $ $ f (e1)= e1+e2-e3 , f (e2)=2e1-2e2-e3 $
La matrice associata mi viene $ ( (1,2) , (1,-2) , (-1,-1) ) $ riducendo con gauss viene $ ( (1,2) , (0,-4) ) $ quindi immagine ha dim 2 e nucleo 1. Una base per immagine e' $ im (f) = [ [1], [0] ] , [ [2] , [-4] ] $ , mentre il nucleo si trova risolvendo l equazione
$ ( (x+2y=0) , (-4y=0) ) $ e viene $ ker (f) = 0v $. C e qualcosa che non mi torna!

[garnak.olegovitc]

@6x6Casadei, avendo la \(\dim_\Bbb{R}(\operatorname{im}(f))\) ti conviene applicare il teorema del rango giustamente per avere la \(\dim_\Bbb{R}(\ker(f))\)..

[6x6Casadei]

Se la dimensione di $ RR^3 $ è 3 e quella dell immagine 2, quella del nucleo viene 3-2=1....ma il nucleo mi viene il vettore $ 0v $ quindi dimensione 0 , non riesco a capire questo!!!

[minomic]

Secondo me non hai letto bene l'enunciato del teorema del rango: la somma delle dimensioni di immagine e nucleo è pari a $n$, dove $n$ è la dimensione dello spazio di partenza della funzione. In questo caso lo spazio di partenza è $RR^2$, quindi $n=2$. Allora se tu hai trovato \( \dim(\operatorname{Im}(f)) = 2 \) hai che la dimensione del nucleo è $2-2=0$.

[6x6Casadei]

Ah, capito! Grazie ragazzi
Quindi se ho una funzione $ RR^2-> RR^4 $ io devo prendere $ n=2 $

[minomic]

Esatto.