Ho qualche dubbio sulla correttezza di quello che faccio in questo esercizio.
Sia $B$ una base di $RR^3$ composta da $v_1=((1),(-1),(0))$, $v_2=((0),(1),(1))$, $v_3=((1),(1),(1))$
$L:RR^3->RR^2$ dove $L(v_1)=((1),(2))$, $L(v_2)=((-1),(1))$, $L(v_3)=((0),(0))$
1)determinare dimensione di kerL e ImL esplicitando una base.
Siccome non mi viene data una base particolare, io lo farei partendo dalla matrice associata all'applicazione su quella base. Cioè su
$B={((1),(-1),(0)),((0),(1),(1)),((1),(1),(1))}$
e quindi
$A=((1,-1,0),(2,1,0))$ quindi $ImL=rnk(A)=2$, $kerL=2-rnk(A)=0$
2) determinare la matrice associata nella base $B$
E quindi è quella sopra.
$A=((1,-1,0),(2,1,0))$
c) coordinate di $e_1=((1),(0),(0))$ rispetto a $B$
in questo caso io risolverei il sistema
$((1),(0),(0))=\alphav_1+\betav_2+\gammav_3$ trovando come soluzione $\alpha=0, \beta=-1, \gamma=1$ cioè il vettore $((0),(-1),(1))$
d) questo è quello che mi da più dubbo. Determinare $L(e_1)$
Non avendo le equazioni dell'applicazione cosa devo fare?
Posso scrivere L nella base B come $L((x),(y))=((x-y),(2x+y))$ e quindi $L(e_1)=((1),(2))$?
e)Determinare la matrice associata ad L rispetto alle basi canoniche di $RR^2, RR^3$
Devo fare un cambiamento di basi con la forumula $X'=A^(-1)X$?