Costruire un prodotto scalare

[Heisenberg303]

Salve a tutti, sono alle prese con un problema di algebra lineare. Mi chiede di costruire un prodotto scalare tale per cui il vettore (2,1,3) (che genera uno spazio vettoriale) abbia come complemento ortogonale (riguardo al prodotto scalare che devo costruire) lo spazio generato dai vettori (2,0,1) e (0,1,2)
Ho provato ad utilizzare la definizione di complemento ortogonale,mettendo come 6 incognite in una ipotetica matrice associata al prodotto scalare che devo costruire (6 e non 9 perchè la matrice è simmetrica) ma non riesco ad andare oltre.
Spero possiate aiutarmi

[vict85]

Presi tre vettori \(\displaystyle (2,1,3) \), \(\displaystyle (2,0,1) \) e \(\displaystyle (0,1,2) \) vuoi trovare un prodotto scalare per cui questi vettori siano ortogonali. Ovvero tale per cui la matrice relativa alla base formata dai quei tre vettori è l'identità. Idee su come continuare?

[Heisenberg303]

Perchè la matrice deve essere l'identità? Scusami sono totalmente in confusione
Sono andato a ricevimento dalla mia prof.ssa di algebra e mi fa di chiamare il primo vettore v e gli altri due w1 e w2 poi di fissare (per il nostro prodotto scalare che chiameremo z) che :
z(v,v)=1 , z(w1,w1)=2 , z(w2,w2)=3 (questi tre valori ad arbitrio) poi che z(v1,w1)=0=z(w1,v1) e che z(w1,w2)=z(w2,w2)=0 e che quindi la mia matriceA sarà
100
020
003
Ma questa cosa non ha senso,se faccio la formula xt*A*y (la traposta di x indicata con xt) e metto come x il vettore v e come y il vettore w1,non ottengo 0! E quindi non sono ortogonali. Non so se sbaglio io o ha sbagliato lei

[Heisenberg303]

In più Vict quei tre vettori non formano in effetti una base,non sono l.indipendenti

[vict85]

Non avevo notato. In tal caso è impossibile. Ovvero un tale prodotto scalare non esiste. Avevo dato per scontato che fosse possibile ed essendo \(\mathbf{w}_1\) e \(\mathbf{w}_2 \) indipendenti avevo supposto i tre vettori formassero una base.

In questo caso hai che \(\displaystyle \mathbf{v} = \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 \) e allo stesso tempo \(\displaystyle \langle \mathbf{v}, a\mathbf{w}_1 + b\mathbf{w}_2 \rangle = 0 \) per ogni \(\displaystyle a,b\in \mathbb{R} \). Ma allora \(\displaystyle \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = 0\) che contraddice il fatto che questo prodotto scalare debba essere definito positivo.

Ho usato la matrice identità per comodità, basta che sia diagonale con elementi tutti diversi da zero (ci sono infinite soluzioni diverse). Ma ovviamente ho anche bisogno che i tre vettori siano linearmente indipendenti o che per lo meno lo sia \(\displaystyle \mathbf{v}\) con il sottospazio generato da tutti gli altri.

[Heisenberg303]

Aspetta ma nessuno ha definito questo prodotto scalare come definito positivo,noi teniamo come definizione di prodotto scalare il fatto che sia una forma bilineare simmetrica. Sei riuscito a capire la soluzione ipotizzata dalla mia professoressa? Comunque questo era un esercizio di una prova d'esame quindi deve avere per forza una soluzione

[vict85]

Ah, ok. Adesso cominciamo a capirci. Quindi il tuo prodotto scalare non è definito positivo ma solo una forma bilineare simmetrica. In genere si aggiunge anche che sia definito positivo , comunque importa poco.

Ora hai che \(\displaystyle \mathbb{v}\in \mathcal{L}(\mathbb{w}_1,\mathbb{w}_2) \) e \(\displaystyle \dim \mathcal{L}(\mathbb{w}_1,\mathbb{w}_2) = 2 \). Al fine di definire una matrice della forma bilineare hai bisogno di una base, quindi estendi \(\displaystyle \mathbb{w}_1 \), \(\displaystyle \mathbb{w}_2 \) con un terzo vettore \(\displaystyle \mathbb{w}_3 \). Per esempio \(\displaystyle \mathbb{w}_3 = (1,0,0) \) (lo puoi controllare calcolando il determinante). Ovviamente se ti mette più a tuo agio puoi metterlo come primo.

Il punto ora è che \(\displaystyle \langle \mathbb{v}, a\mathbb{w}_1 + b\mathbb{w}_2 + c\mathbb{w}_3\rangle = c\langle \mathbb{v}, \mathbb{w}_3\rangle \). Si ricava che \(\displaystyle \langle \mathbb{v}, \mathbb{w}_3\rangle = \langle \mathbb{w}_1, \mathbb{w}_3\rangle + \langle \mathbb{w}_2, \mathbb{w}_3\rangle \neq 0 \) perché altrimenti \(\displaystyle \mathbb{v}^{\perp} = \mathbb{R}^3 \neq \mathcal{L}(\mathbb{w}_1,\mathbb{w}_2) \). Inoltre immagino che voglia una forma bilineare non degenere.

Notiamo che \( \displaystyle \mathbf{v} = \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 \), pertanto
\begin{align} 0 &= \langle \mathbf{v}, a\mathbf{w}_1 + b\mathbf{w}_2 \rangle \\
&=\langle \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2, a\mathbf{w}_1 + b\mathbf{w}_2 \rangle \\
&= a\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle + b\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2 \rangle + a\langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_1\rangle + b\langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2 \rangle \\
&= a\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle + (a+b)\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2\rangle + b\langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2 \rangle \\
\end{align}
per ogni \(\displaystyle a,b\in\mathbb{R} \).

Siccome vale per ogni \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) deve valere \(\displaystyle \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2\rangle = -\langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2 \rangle = -\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle \).

Osserviamo che la matrice rispetto alla base \(\displaystyle \{\mathbf{w}_i\} \) è \(\displaystyle M = \begin{pmatrix} \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle & \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2 \rangle & \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_3 \rangle \\
\langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_1 \rangle & \langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_2 \rangle & \langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_3 \rangle \\
\langle \mathbf{w}_3, \mathbf{w}_1 \rangle & \langle \mathbf{w}_3, \mathbf{w}_2 \rangle & \langle \mathbf{w}_3, \mathbf{w}_3 \rangle
\end{pmatrix} \)

Ora sfruttiamo la simmetria e ciò che abbiamo dimostrato finora per ricavare \(\displaystyle M = \begin{pmatrix} \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle & -\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle & \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_3 \rangle \\
-\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle & \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle & \langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_3 \rangle \\
\langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_3 \rangle & \langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_3 \rangle & \langle \mathbf{w}_3, \mathbf{w}_3 \rangle
\end{pmatrix} \)

a cui devo aggiungere \(\displaystyle \det M\neq 0 \) perché la voglio non degenere e \(\displaystyle \langle w_1, w_3\rangle + \langle w_2, w_3\rangle\neq 0 \).

A tale scopo si deve avere \(\displaystyle \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_1 \rangle = a\neq 0 \) e semplifico la notazione ponendo \(\displaystyle \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_3 \rangle = b \), \(\displaystyle \langle \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_3 \rangle = c \) e \(\displaystyle \langle \mathbf{w}_3, \mathbf{w}_3 \rangle = d \) ovvero \(\displaystyle M = \begin{pmatrix} a & -a & b \\
-a & a & c \\
b & c & d
\end{pmatrix} \)

Calcolando il determinante letterale di M noto che non mi dice nulla di nuovo in quando è uguale a \(\displaystyle -a(b+c)^2 \) (non prendertela ma ho fatto fare il calcolo a wolfram per comodità).

In sostanza qualsiasi scelta di \(\displaystyle a,b,c,d \) con \(\displaystyle a\neq 0 \), \(\displaystyle b+c\neq 0 \) e \(\displaystyle d \) qualsiasi è soluzione del tuo problema.

Allo scopo di mettere a 0 il più possibile pongo \(\displaystyle a = -b = -1 \), \(\displaystyle c = d = 0 \). Ma va bene qualsiasi scelta. La matrice diventa \(\displaystyle M = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix} \)

A questo punto devi trovare la matrice di cambiamento di base e trasformare \(\displaystyle M \) nella matrice corrispondente. Le parti fino a qui le hai capite? Nota che \(\displaystyle \langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = \mathbf{x}^T\,M\,\mathbf{y} \) se i vettori sono scritti in colonna. Quindi se \(\displaystyle A \) è il cambio di base corretto \(\displaystyle \langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = (A\mathbf{x})^T\,M\,A\mathbf{y} = \mathbf{x}^T\,A^TMA\,\mathbf{y} \). Il cambio di base corretto è quello che manda per esempio \(\displaystyle (2,0,1) \) in \(\displaystyle (1,0,0) \)

[Heisenberg303]

Ok per il momento ci sono,ma questa soluzione sembra completamente diversa da quella della mia professoressa e ciò mi preoccupa

[vict85]

Quello che ti dice la prof ha senso se i tre vettori sono linearmente indipendenti. Il tuo caso invece è purtroppo più complicato .