Rango matrice al variare del parametro

[asso95]

Salve,
avrei un dubbio sul seguente esercizio:

Siano $ainR$ e $A=((a,1,a-1),(0,a,3),(1,0,1))$. La matrice $A$ ha rango uguale a 2:
1)per un solo valore di $a$
2)per nessun valore di $a$
3)nessuna delle altre risposte
4)per due valori distinti di $a$
5)per infiniti valori di $a$

Imponendo $det(A)=0$ trovo che il rango della matrice è massimo e uguale a tre per $a !=-3$.
A questo punto non ho purtroppo le idee chiare su come procedere; se qualcuno fosse così gentile da indicarmi la strada per la risoluzione gliene sarei grato.
Grazie in anticipo per la risposta

[minomic]

Ciao, giustamente dici che il determinante della matrice vale $a+3$, che si annulla in corrispondenza di $a=-3$. Sostituiamo quindi questo valore e otteniamo la matrice \[
A' = \begin{bmatrix}
-3 & 1 & -4 \\ 0 & -3 & 3 \\ 1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\] il cui rango è certamente $2$. Concludiamo quindi che per $a=-3$ il rango è $2$, mentre per ogni altro valore di $a != -3$ il rango è $3$. Di conseguenza la risposta corretta è la (1).

[asso95]

Ringrazio minomic per la risposta.
Purtroppo ho ancora qualche perplessita' nel caso di matrici 3x4 o 4x3 come nel seguente esercizio:
Siano $ainR$ E $A=$$((-1,2,3),(2,a,2a+2),(a,1,a+2),(a+1,a+3,3a+7))$. Il rango di A assume tutti e soli i valori:
1)(2,3)
2)(2)
3)(1,2)
4)(1,2,3)
Inizio imponendo $det((-1,2,3),(2,a,2a+2),(a,1,a+2))=0$. Questo determinante e' sempre nullo.
Considero l'altro minore 3x3: $det((2,a,2a+2),(a,1,a+2),(a+1,a+3,3a+7))=0$. Anche questo determinante e' sempre nullo.
Ne consegue quindi che il rango della matrice 4x3 e' sempre 2. Adesso dovrei considerare tutti i minori 2x2 per vedere quando il rango scende a 1.
Ottengo $det((-1,2),(2,a))=-a-4$. Det nullo per$a=-4$
$det((2,3),(a,2a+2))=a+4$. Det nullo per $a=-4$
$det((a,1),(a+1,a+3))=a^2+2a-1$. Il det e' nullo per $a=+-sqrt(2) -1$
$det((1,a+2),(a+3,3a+7))=-a^2-2a+1$. Det nullo per $a=+-sqrt(2) -1$
$det((2,a),(a,1))=2-a^2$. Det nullo per $a=+-sqrt(2)$
$det((a,2a+2),(1,a+2))=a^2-2$. Det nullo per $a=+-sqrt(2)$
A questo punto come dovrei procedere?
Ringrazio in anticipo per la risposta.

[minomic]

Ciao, io affronterei il problema al contrario, cioè partendo da minori piccoli e andando verso i grandi. Per fare questo sfruttiamo il teorema dei minori orlati. Provo a riportare di seguito lo svolgimento completo, sperando di evitare errori di calcolo!

Abbiamo \[
A=\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 3 \\
2 & a & 2a+2 \\
a & 1 & a+2 \\
a+1 & a+3 & 3a+7
\end{bmatrix}
\] Sicuramente il rango è almeno $1$ perché esiste il minore \[
\begin{bmatrix}
-1
\end{bmatrix}
\] che è ovviamente invertibile. Ora prendo questo minore e lo orlo: ottengo ad esempio \[
\begin{bmatrix}
-1 & 2 \\ 2 & a
\end{bmatrix}
\] il cui determinante è $-a-4$, il quale si annulla per $a=-4$. Quindi se \(a \neq -4\) questo minore è invertibile e il rango della matrice originale è almeno $2$. Vediamo invece cosa accade per $a = -4$. Sostituisco nella matrice originale e ottengo \[
A_{a=-4} = \begin{bmatrix}
-1 & 2 & 3 \\
2 & -4 & -6 \\
-4 & 1 & -2 \\
-3 & -1 & -5
\end{bmatrix}
\] il cui rango è $2$. Cosa abbiamo quindi concluso? Che in ogni caso il rango è almeno $2$. Procediamo orlando nuovamente il minore che stavamo considerando: otteniamo \[
\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 3 \\
2 & a & 2a+2 \\
a & 1 & a+2
\end{bmatrix}
\] il cui determinante è nullo per ogni valore del parametro $a$. Allora consideriamo l'altro orlato che si può ottenere: \[
\begin{bmatrix}
-1 & 2 & 3 \\
2 & a & 2a+2 \\
a+1 & a+3 & 3a+7
\end{bmatrix}
\] Ancora una volta il determinante è nullo per ogni valore di $a$. Quindi concludiamo che non è possibile estrarre un minore \(3\times 3\) invertibile, e quindi il rango di $A$ non può essere $3$.

La conclusione a cui arrivo, a meno di errori di calcolo, è che il rango della matrice è $2$ in ogni caso.

Effettivamente penso che questo risultato sia corretto... Vediamo perché! Se osserviamo le colonne della matrice originale $A$ possiamo notare, con un po' di occhio, che la terza è esattamente pari al doppio della seconda sommato alla prima. Quindi la terza colonna è linearmente dipendente dalle prime due, e di conseguenza il rango non può essere tre. Invece se guardiamo le prime due colonne notiamo che sono linearmente indipendenti, quindi il rango della matrice è sempre $2$.

Spero che sia tutto chiaro. In caso contrario fai un fischio!

[asso95]

Ringrazio minomic per la disponibiltà; se non le dispiace la disturberei, spero per l'ultima volta, con un altro esercizio simile, per avere conferma del ragionamento da lei illustrato.
Utilizzando il teorema dei minori orlati ho provato a risolvere il seguente esercizio:
Siano $ainR$ e $A=((3,2,1,a),(1,0,a,-2),(19,-3,-1,a))$. Il rango della matrice A assume tutti e soli i valori:
1)3
2)2
3)nessuna delle altre risposte
4)1,3
5)2,3

Il rango della matrice A è sicuramente almeno 1, perché esiste il minore $[3]$.
Orlando questo minore, ottengo che il rango della matrice A non è mai 1, in quanto $det((3,2),(1,0))=-2!=0$
Orlando di nuovo il minore 2x2, ottengo che $det((3,2,1),(1,0,a),(19,-3,-1))=0$ se $a=-1/47$ e quindi $rg(A)=2$ se $a=-1/47$ e $rg(A)=3$ se $a!=-1/47$.
Sostituendo nella matrice A $a=-1/47$, $rg((3,2,1,-1/47),(1,0,-1/47,-2),(19,-3,-1,-1/47))=3$.
Il rango, contrariamente alle aspettative, è sempre 3.
Considerando l'altro possibile minore orlato 3x3, ottengo $det((3,2,a),(1,0,-2),(19,-3,a))=0 $ se $a=-94/5$ e quindi $rg(a)=2 $ se $a=-94/5$ e $rg(A)=3$ se $a!=-94/5$. Sostituendo in A: $rg((3,2,1,-94/5),(1,0,-94/5,-2),(19,-3,-1,-94/5))=3$.
Il rango, contrariamente alle aspettative, è sempre 3, pertanto la risposta corretta risulterebbe, a meno di errori di calcolo, la 1).
Il procedimento risulta corretto?
Grazie in anticipo per la risposta.

[minomic]

Eccomi... Allora diciamo che non ho controllato i calcoli ma mi sembra corretto. Faccio però qualche osservazione:

1. mi devi assolutamente dare del tu!

2. quando dici che per $a = -1/47$ e per $a != -1/47$ il rango è $3$ ti puoi fermare. Non c'è necessità di studiare anche l'altro orlato $3xx3$ e il motivo è semplice: la matrice originale è $3xx4$, quindi il suo rango massimo è proprio $3$. Se arrivi a dimostrare che il rango è sempre $3$ allora non c'è altro da dire

3. non ho ben capito cosa intendi quando dici "contrariamente alle aspettative"... Quali aspettative? Il fatto che un orlato abbia determinante nullo non impedisce ad un altro orlato di essere non singolare, quindi si possono trarre conclusioni solo dopo aver fatto la verifica.

Ciao!