Teorema delle dimensioni

[JustDani95]

Ricordiamo che, se $ A $ è una matrice $ m × n $ si definisce annullatore di $ A $, $ n u ll(A) $ , il sottospazio di $ R^n $ dei vettori $ X $ tali che $ AX = 0 $ , (cioè sono le soluzioni del sistema lineare omogeneo associato ad $ A $ ) e si definisce $ R(A) $ il sottospazio di $ R^n $ generato dalle righe di $ A $.
-Dimostrare che $ R(A) = (n u ll (A))^_|_ $ . (questo è il primo dei tre punti)

Ho ragionato nel seguente modo:
Suppongo di avere una base di $ S $. Eseguo questo procedimento:
1) creo una matrice $ A $ che ha per righe i vettori di base di $ S $.
2) calcolo lo spazio annullatore di $ A $
3) lo spazio annullatore di $ A $ è $ T $
Quando risolvo $ Ax =0 $ , stiamo trovando quelle $ x $ tali per cui il prodotto di ogni riga di $ A $ per $ x $ fa $ 0 $ .
Poichè le righe di $ A $ sono una base di $ S $, allora $ x $ sarà ortogonale ad ogni vettore di base. Dunque le $ x $ costituiranno il complemento ortogonale di $ S $ .

E' corretto?

[j18eos]

Chi sono \(\displaystyle S\) e \(\displaystyle T\)?

[JustDani95]

$ S $ è una generica matrice mentre $ T $ è $ ( n u ll (A))^_|_ $