Fondamenti di Geometria

[marco955]

Potreste controllare se ho capito bene la differenza tra i primi due assiomi di collegamento di Hilbert.

1)Two disticnt points A and B always completely determine a straight line r. We write AB=r or BA=r
ovvero:
Due punti distinti A e B determinano sempre univocamente una retta r. Scriviamo AB=r o BA=r
In simboli matematici verrebbe così(vedete se vi trovate)
$ AA (A,B) (A!= B)hArr (EE !r\\ (Ain r)^^ (Binr))hArr (AB=r) $
per cui potrei scrivere semplicemente:
$ AA (A,B) (A!= B)hArr (AB=r) $

2)Any two distinct points of a straight line completely determine that line.
Ogni coppia di punti distinti di una retta determinano univocamente tale retta.
$ AA (A,B) (A!= B)^^(A,Bins)hArr(AB=s) $
Però per il primo assioma
$ (A!= B)hArr (AB=r) $
Dunque il secondo potrebbe intendersi nel seguente modo
$ AA (A,B) (AB=r)^^(A,Bins)hArr(AB=r=s) $

Dunque nel secondo assioma rispetto al primo viene dichiarato il fatto che i punti appartengano ad una retta, e poichè tali punti sono distinti, per il primo assioma individuano una ed una sola retta, che però in tal caso non è affatto generica, ma coincide con quella a cui appartengono.

E' giusto il ragionamento o ho sbagliato qualcosa(mi riferisco anche al linguaggio matematico utilizzato per interpretarli).
Se è così, non pensate che il secondo assioma poteva essere dedotto dal primo?
Grazie.

[marco955]

Grazie Sergio per la risposta.

Ma se il secondo assioma dice che le rette sono "dritte", perchè contraddire ciò con la presenza del primo? Se così è l'interpretazione, il primo assioma dovrebbe far parte della geometria iperbolica e non di quella euclidea.

[marco955]

Ok credo di aver capito
Invece l'assioma che afferma
Three points A,B,C not situated in the same straight line always completely determine a plane a. We write ABC=a
Tre punti A,B,C che non stanno sulla stessa retta determinano sempre un piano a. Scriveremo ABC=a.

in quali casi esistono infiniti piani a che passano per tre punti distinti che non stanno sulla stessa retta?

Inoltre per quanto riguarda l'assioma I.1, come mi consiglieresti di scriverlo in linguaggio matematico, inserendo anche l'affermazione AB=r?