(in $\mathbb{R}^2$) limitato e convesso ha complementare conn. p. archi

[j18eos]

...Comunque si scelgano due punti distinti $x$ ed $y$ di $\mathbb{R}^2 - X$, dalla limitatezza di $X$ $\exists B$ palla aperta tale che $B\supset X$. Poichè le palle sono convesse, abbiamo che $B$ è stellata. In particolare, per $x$ ed $y$ $\exists$ due cammini (raggi di due palle centrate nei due punti e tangenti dall'interno a $B$) che connettono $x$ ed $y$ con la frontiera di $B$ nei punti, rispettivamente, $v$ ed $w$...

Non è vero: è vero che \(\displaystyle X\) è limitato, e come puoi dimostrare \(\displaystyle\mathbb{R}^n\setminus X\) è illimitato; quindi non è vero che \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\) siano punti interni a \(\displaystyle B\): possono essere anche di frontiera od esterni.

Basta modificare leggermente quel punto per renderlo valido; tanto, \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\) sono comunque a distanza finita da \(\displaystyle\partial B\).

Perché non chiusi in $ \mathbb{R}^n $? Sia $ A $ che $ B $ sono dentro \( \mathbb{R}^n \setminus \overline{X} \) completamente, e siccome sono chiusi per la topologia di sottospazio, sono chiusi anche in $ \mathbb{R}^n $...

Per la definizione di topologia di sottospazio: esistono \(\displaystyle A_0\) e \(\displaystyle B_0\) insiemi chiusi di \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) tali che \(\displaystyle A=A_0\cap\left(\mathbb{R}^n\setminus\overline{X}\right)\) e \(\displaystyle B=B_0\cap\left(\mathbb{R}^n\setminus\overline{X}\right)\); ovvero \(\displaystyle A\) e \(\displaystyle B\) in \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) sono l'intersezione di un insieme aperto e di un insieme chiuso, cioè sono insiemi localmente chiusi.

Esempio: Sia \(\displaystyle\mathbb{R}\setminus[-1,1]=]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\) è aperto; \(\displaystyle[1,2]\) è chiuso in \(\displaystyle\mathbb{R}\) e \(\displaystyle]1,2]\) è chiuso in \(\displaystyle]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\); ma \(\displaystyle]1,2]\) non è chiuso in \(\displaystyle\mathbb{R}\)!

Ovviamente, in tutto quello che ho scritto, sotto intendo che stiamo lavorando con la topologia naturale di \(\displaystyle\mathbb{R}^n\)...

[Frink]

Ok, ma qui sono in una situazione del tipo $A \in \mathbb{R}^n$, \( A \cap \mathbb{R}^n \setminus \overline{X} =A \in \mathbb{R}^n \setminus \overline{X} \), con $A$ chiuso in \( \mathbb{R}^n \setminus \overline{X} \) ed è lo stesso $A$ di prima.
Sono un po' tardo, ma penso di aver capito la tua obiezione, anche se credo che per interiorizzarla appieno dovrò pensarci un altro po'
Credo il passaggio logico sia quello con cui passo dall'insieme piccolo a quello più grande, il viceversa vale sempre ma questo no...

[dissonance]

@Frink: Si ma io ancora non ho capito dove hai usato l'ipotesi che $X$ sia convesso.

@Isaac: Se un insieme è stellato, allora ogni punto si può connettere all'origine attraverso un segmento. Di conseguenza ogni punto esterno si può connettere al "grande cerchio rosso" attraverso un segmento preso sulla semiretta uscente dall'origine. E' facile da dimostrare, per assurdo, basta pensarci un attimo. Sono quelle cose più difficili da dire che da fare

[Frink]

@Frink: Si ma io ancora non ho capito dove hai usato l'ipotesi che $X$ sia convesso.

Credo proprio di non averla usata (e nemmeno la limitatezza, a ben vedere) il che sottintende un qualche errore (come quello segnalato da j18eos)...

Senza usare la limitatezza è facile trovare un controesempio, quindi è di certo sbagliata.

[dissonance]

Io so che si puo' indebolire la richiesta di convessità e sostituirla con quella di semplice connessione (un dominio limitato e semplicemente connesso in $R^2$ ha il complementare connesso - una cosa questa che Gugo diceva spesso qualche anno fa), ma un minimo di ipotesi su $X$ ce le devi avere, altrimenti è falso.

OT: Comunque mi piace un sacco la tua firma! Sostanzialmente c'è Feynman che manda tutti affanculo. Un vero signore

[Isaac888]

...Comunque si scelgano due punti distinti $x$ ed $y$ di $\mathbb{R}^2 - X$, dalla limitatezza di $X$ $\exists B$ palla aperta tale che $B\supset X$. Poichè le palle sono convesse, abbiamo che $B$ è stellata. In particolare, per $x$ ed $y$ $\exists$ due cammini (raggi di due palle centrate nei due punti e tangenti dall'interno a $B$) che connettono $x$ ed $y$ con la frontiera di $B$ nei punti, rispettivamente, $v$ ed $w$...

Non è vero: è vero che \(\displaystyle X\) è limitato, e come puoi dimostrare \(\displaystyle\mathbb{R}^n\setminus X\) è illimitato; quindi non è vero che \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\) siano punti interni a \(\displaystyle B\): possono essere anche di frontiera od esterni.

Basta modificare leggermente quel punto per renderlo valido; tanto, \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\) sono comunque a distanza finita da \(\displaystyle\partial B\).

Ma non può essere assunta senza perdita di generalità l'esistenza di una palla per cui $x$ ed $y$ siano interni o, al più sulla frontiera? Tanto la limitatezza ci dice solo che esiste una palla di raggio finito che contiene tutto $X$. Oltre tutto questa palla può essere grande a piacere visto che $\mathbb{R}^2-X$ è illimitato. Giusto? (E se sì, con questa spiegazione, avrei risolto?)

[dissonance]

@Isaac: Ma si secondo me si, hai risolto. Questi dettagliucci qua sono tutte chiacchiere.

P.S.: Studi a Pisa ? A che anno sei ?

[Isaac888]

@Frink: Si ma io ancora non ho capito dove hai usato l'ipotesi che $X$ sia convesso.

Credo proprio di non averla usata (e nemmeno la limitatezza, a ben vedere) il che sottintende un qualche errore (come quello segnalato da j18eos)...

Senza usare la limitatezza è facile trovare un controesempio, quindi è di certo sbagliata.

Se si prende come $X$ una "striscia" del tipo $]-1,1[\times ]-\infty,+\infty[$, ho trovato un controesempio. Se si volesse però rinunciare alla limitatezza, forse potrebbe bastare, data la convessità di $X$, l'illimitatezza lungo più di una direzione, per toglierci dai casi come le "strisce"... La convessità ci toglierebbe invece dai casi di insiemi stellati illimitati che potrebbero fare sì che $\mathbb{R}^2 - X$ non sia connesso, come per esempio ${(x,y)\in \mathbb{R}^2| |xy|\le 1}$, ma non ci toglierebbe però i "coni" (quelli doppi). Allora forse bisognerebbe chiedere di non avere più di una retta ed una semiretta come "direzioni" su cui l'insieme sia illimitato, + la convessità (altrimenti ${(x,y)\in \mathbb{R}^2| |xy|\le 1, y\ge 0}$ sarebbe un controesempio). Dunque bisognerebbe chiedere convessità (ed illimitatezza) + una direzione su cui è limitato o solo "superiormente" o solo "inferiormente" (sarebbe carino capire come si scrive in matematichese quest'ultima cosa). Non so se si resce a chiedere di meno...

@Isaac: Ma si secondo me si, hai risolto. Questi dettagliucci qua sono tutte chiacchiere.

P.S.: Studi a Pisa ? A che anno sei ?

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Si, studio a Pisa. Sono fuoricorso alla triennale purtroppo.

[Frink]

Il controesempio che fornisci disprova appunto la tesi che avevo portato io che era troppo generale.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

OT: Comunque mi piace un sacco la tua firma! Sostanzialmente c'è Feynman che manda tutti affanculo. Un vero signore

Temo che sia vera solo fino a "They don't."
La parte dopo è stata aggiunta, diciamo, sullo stile che era di Feynman

[j18eos]

@Isaac ... Questi dettagliucci qua sono tutte chiacchiere...

Sono sì dettagliucci, ma non sono chiacchiere, perché se no sembra che si possa fare a meno dell'ipotesi che \(\displaystyle X\) sia stellato (rispetto a un suo sottoinsieme).

...@Isaac: Se un insieme è stellato, allora ogni punto si può connettere all'origine attraverso un segmento. Di conseguenza ogni punto esterno si può connettere al "grande cerchio rosso" attraverso un segmento preso sulla semiretta uscente dall'origine. E' facile da dimostrare, per assurdo, basta pensarci un attimo. Sono quelle cose più difficili da dire che da fare

Ecco qua!