Proiezioni e migliore approssimazione.

[momo1]

Ho studiato la parte di teoria, ma non capisco come fare gli esercizi perchè nei temi di esame degli anni passati che mi sono stati forniti si parla di span di un spazio vettoriale e noi a lezione non abbiamo usato questa termilogia.. Ho cercato un po' in rete e non mi sembra nulla di difficile: tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori dello span.
Il problema è il seguente:
Nello spazio $R^3$ , munito del prodotto interno euclideo, si determini l’elemento in $S = (span {(6, −1, −7)}) ⊥$
che meglio approssima il vettore $u = (2, −9, 3)$

Devo partire cercando l'insieme dei $V\inR^3$ tali che il prodotto interno tra $V$ e $(6,-1.-7)$ sia nullo, in pratica il complemento ortogonale dello span?

[vict85]

Anche senza usare basi, si ha che \(\displaystyle (6, −1, −7)\cdot (2, −9, 3) = 12 +9-21=0\) ovvero \(\displaystyle u\in (6,-1,-7)^{\perp}\). Banalmente l'elemento cercato è \(u\). Altrimenti sarebbe stato \(\displaystyle w=u - u \cdot (6,-1,-7)\).

[momo1]

Ok $w$ è la proiezione giusto? In questo caso invece è direttamente perpendicolare al sottospazio e quindi è la distranza minima ?
Strano che ci fosse un caso particolare in un tema d'esame..

Non mi è chiara ancora una cosa sullo span.. Io ho un vettore con tre componenti... Non dovrebbero essere tre i vettori?
Comunque ripeto, non lo userò nell'esame perchè il mio prof non lo ha usato nel corso

[momo1]

Ok mi è chiaro grazie mille! Stavo confondendo il numero di componenti con il numero di vettori e non consideravo il fatto che i vettori dello span sono solo generatori non necessariamente una base..
La prima parte della mia risposta precedente è giusta?

[vict85]

Prima ho sbagliato la formula. Posto \(\displaystyle v=(6,-1,-7) \) la formula è \(\displaystyle w=u-\frac{u\cdot v}{v\cdot v}v \) ovvero ho scritto la proiezione sullo spazio perpendicolare come la differenza tra il vettore di partenza e la proiezione sullo spazio dato. Ti è chiaro il perché funziona?

[momo1]

Prima ho sbagliato la formula. Posto \(\displaystyle v=(6,-1,-7) \) la formula è \(\displaystyle w=u-\frac{u\cdot v}{v\cdot v}v \) ovvero ho scritto la proiezione sullo spazio perpendicolare come la differenza tra il vettore di partenza e la proiezione sullo spazio dato. Ti è chiaro il perché funziona?

Intendi il perchè viene definita in quel modo una proiezione? In quel caso no.. Cioè, definendola in quel modo si dimostra il teorema, e fin lì ci sono, di più no..
Se intendi perchè la somma tra la proiezione e $s\bot$ dia il vettore stesso , è per il teorema di decomposizione.

[momo1]

Prima ho sbagliato la formula. Posto \(\displaystyle v=(6,-1,-7) \) la formula è \(\displaystyle w=u-\frac{u\cdot v}{v\cdot v}v \) ovvero ho scritto la proiezione sullo spazio perpendicolare come la differenza tra il vettore di partenza e la proiezione sullo spazio dato. Ti è chiaro il perché funziona?

Rettifico: ho fatto il disegno in $R^2$ e ho capito il senso geometrico della proiezione e del perchè si scrive in quel modo il vettore ortogonale.. In pratica si utilizza la regola del parallelogrammo giusto?
Se ragiono direttamente con i vettori normalizzat e quindi ho $k=v/||v||$ la formula si priva del prodotto scalare a denominatore vero?i

[vict85]

Sì, lo puoi dimostrare facilmente scrivendo \(v = \lVert v\rVert k = \sqrt{v\cdot v}k \) e sostituendo nella formula (devi poi semplificare ovviamente).

[momo1]

Perfetto, tutto chiaro, grazie.

[momo1]

Vorrei proporvi questo altro esercizio di cui non ho soluzione:
Si dimostri che l’insieme $S = {p ∈ P 2 [R] : p(0) = p(1) = 0} $`e un sottospazio di$ P 2 [R]$. Si determini poi
l’elemento di $S$ che meglio approssima $v(t) = t + 1$, rispetto alla distanza indotta dal prodotto interno
$<p,q> =int_{-1}^{1} p(x)q(x)\ dx $

Prima di tutto ho verificato la chiusura rispetto alla somma e al prodotto scalare per verificare che fosse un sottospazio. Poi ho osservato che lo span di S è $span{(t^2-t)}$ e quindi il vettore $u=t^2-t$ è base del sottospazio. Ma il vettore $v$ è ortogonale rispetto alla base poichè $<v,u> =int_{-1}^{1}t^3-t\ dx=0$. Quindi la distanza minima tra v e un elemento di S è data da:
$||v-s||=int_{-1}^{+1} t^2-2t-1\ dx$.