sono Enrico ed è mi sono appena iscritto al forum. Mi sembra di aver capito che non c'è necessità di presentarsi in un apposito spazio prima di chiedere aiuto; se mi sono sbagliato, correggeTEmi e provvederò a correggeRmi.
Ad ogni modo, sto studiando operatori non normali, pseudo spettri ecc e mi sono "bloccato" su certe affermazioni che non devo dimostrare in sede d'esame ma che, tuttavia, mi piacerebbe capire a fondo per fissare meglio i concetti in mente.
Viene definito risolvente di una matrice $A$ l'operatore matriciale
\[R(z) = (zI - A)^{-1} \quad\text{con}\quad z\in \mathbb{C}\]
Viene poi detto che se $A$ è una matrice normale allora la norma euclidea del risolvente è
\[\| R(z) \|_2 = \frac{1}{\min_{i}|z-\lambda_i|}\]
in cui $\lambda_i \in \Lambda(A)$ con $i =1, 2, ..., n$ essendo $n$ la dimensione di $A$.
Sono convinto che sia una cavolata, ma mi mi sfugge l'ovvietà.
Se $A$ è normale vuol dire che $A A^\text{H} = A^\text{H} A$.
La matrice $zI - A$ ha banalmente autovalori $z-\lambda_i$, quindi la scrittura di sopra significa che \(\| R(z) \|_2\) è il massimo autovalore (in modulo) di $(zI -A)^{-1}$, cioè il suo raggio spettrale,
\[\| R(z) \|_2 = \rho\{(zI-A)^{-1}\} = \rho\{R(z)\}\]
La la usata è però quella euclidea, quindi
\[\|R\|_2 = \sqrt{\rho\{R(z)^\text{H}R(z)\}}\]
Ammesso e non concesso che non ho scritto cavolate, se l'uguaglianza tra le ultime due espressioni è ovvia per la supposta normalità di $A$ (nel qual caso mi sfugge perché) allora ok. Ma se no?
Comunque penso di aver girato troppo in torno a qualcosa di banale. Qualcuno mi aiuta?
