Trovare una striscia che non contiene uno dei \( \displaystyle \pi^{-1}(U) \) ? Ma non è questo che devi mostrare. Devi mostrare semmai che esiste una striscia che non contiene nessuno dei \( \displaystyle \pi^{-1}(U) \) .j18eos ha scritto:...lo deduco dal fatto che il bordo di \(\displaystyle S\) cade rapidamente a \(\displaystyle0\); cioè, posso sempre trovare una striscia che non contiene uno di quegli \(\displaystyle\pi^{-1}(U)\).
? Non capisco. Cosa intendi con \( \displaystyle \partial \) ? Il bordo? (in tal caso perché non usi la parola "bordo"? Ci risparmieresti tempo). Quindi se ho capito bene dici che un dato \( \displaystyle V_n \) è una striscia (su questo posso essere d'accordo) diciamo determinata da due curve \( \displaystyle f,g \) con \( \displaystyle f < 0 < g \) (è così che io penso a una striscia) e se ho capito bene \( \displaystyle \partial^+ \) è il "bordo sopra" cioè l'immagine della curva \( \displaystyle g \) , è giusto? Mentre \( \displaystyle \partial V_n \) è l'unione dell'immagine di \( \displaystyle f \) con l'immagine di \( \displaystyle g \) . Ora tu definisci \( \displaystyle T_n \) intersecando \( \displaystyle \partial^+ V_n \) con la retta \( \displaystyle x=0 \) giusto? Ma questo è solo un punto, per la precisione mi risulta che \( \displaystyle T_n \) è il punto \( \displaystyle (0,g(0)) \) . Poi tu dici che \( \displaystyle T_n \) è identificabile a un sottoinsieme di \( \displaystyle \mathbb{R}_{>0} \) che io interpreto come "pensa alla coppia \( \displaystyle (0,g(0)) \) come a solo \( \displaystyle g(0) \) ". Ok, quindi \( \displaystyle T_n \) è identificabile a \( \displaystyle \{g(0)\} \) .Se vuoi cambio ragionamento: sia \(\displaystyle\mathcal{U}=\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) un s.f.i. di \(\displaystyle\widetilde{0}\) e \(\displaystyle\mathcal{V}=\pi^{-1}(\mathcal{U})\); abbiamo capito che gli elementi \(\displaystyle V_n\) di \(\displaystyle\mathcal{V}\) sono strisce aperte e \(\displaystyle\sim\)-sature di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) contenenti la retta \(\displaystyle y=0\); siano:
\[
\partial^{+}V_n=\partial V_n\cap\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y>0\},\\
T_n=\partial^{+}V_n\cap\{x=0\}
\]
e wlog, i \(\displaystyle T_n\) sono identificabili con sottoinsiemi di \(\displaystyle\mathbb{R}_{>0}\).
Definito:
\[
\forall n\in\mathbb{N},\,y_n=\inf\bigcup_{k=1}^nT_n=\inf Z_n>0
\]
Ok, questo è il minimo di un insieme finito di numeri positivi quindi è un numero positivo (i \( \displaystyle T_n \) sono singoli punti con ordinata positiva). Ripeto, ogni \( \displaystyle T_n \) è un unico punto. Non si capisce cosa sia \( \displaystyle Z_n \) ma non importa.
?? Se volevi una striscia che non conteneva \( \displaystyle \pi^{-1}(U_1),\ldots,\pi^{-1}(U_n) \) bastava prenderne una contenuta in \( \displaystyle \pi^{-1}(U_1) \cap \ldots \cap \pi^{-1}(U_n) \) . Ma a parte questo, non è questo che ti serve per dedurre un assurdo. Devi trovare una striscia \( \displaystyle S \) che non contiene nessuno dei \( \displaystyle \pi^{-1}(U) \) , non solo un numero finito di essi.posso sempre trovare una striscia aperta \(\displaystyle S_n\), contenente la retta \(\displaystyle y=0\), tale che il suo bordo abbia un'unica intersezione con la retta \(\displaystyle x=0\) e l'ordinata \(\displaystyle\overline{y}_n\) sia sempre strettamente minore di \(\displaystyle y_n\); ovvero:
\[
\forall n\in\mathbb{N},\exists S_n\,\text{striscia aperta contenente l'asse delle ascisse}\mid\forall k\in\{1,\dots,n\},\,\pi(S_n)\not\supseteq U_k
\]
in assurdo con l'aver considerato un s.f.i. numerabile \(\displaystyle\mathcal{U}\) di \(\displaystyle\widetilde{0}\).
Comunque non vedo proprio dove stai usando il fatto che \( \displaystyle \mathcal{U} \) è numerabile. Tutto quello che hai detto si potrebbe fare semplicemente bene-ordinando \( \displaystyle \mathcal{U} \) . Dove stai usando la numerabilità?
