Determinare autovalore dominante

[bugger]

Ciao a tutti,
se non vado errato, la definizione di autovalore dominante dovrebbe essere "l'autovalore in modulo massimo"
Nell'aultimo compito di "Calcolo Numerico" è uscito questo esercizio di cui non riesco a trovare soluzione.

Determinare l'autovalore dominante, ovvero un intervallo che lo contenga, (spiegando come in qualunque dei due casi) della matrice

$ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 ),( 5 , 6 , 7 , 8 ),( 8 , 7 , 6 , 5 ),( 4 , 3 , 2 , 1 ) ) $

Ora, un modo per trovare gli autovalori sarebbe quello di trovare gli zeri del polinomio caratteristico, che è dato da $det(A-\lambda I)$, ma essendo una matrice 4 x 4 mi sembra poco veloce e poco fattibile da fare in sede di esame, e poi c'è quella frase, "ovvero un intervallo che lo contenga" che mi da sospetto..
Sapreste aiutarmi?

Grazie mille a tutti

[dissonance]

http://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_di_Gerschgorin

secondo me è questo lo strumento da usare

[bugger]

Ci avevo pensato, ma non ero sicuro che era da usare

[dissonance]

E provaci almeno. Mica uno può sempre andare a colpo sicuro

[bugger]

Usando il Teorema di Gershgorin riesco a dire che
$D=\cup_{i=1}^{4} D_i$ dove $ D_1={\lambda\in \mathbb{C}} : |\lambda-1| \le |2|+|3|+|4|} $ $ D_2={\lambda\in \mathbb{C}} : |\lambda-6| \le |5|+|7|+|8|} $ $ D_3={\lambda\in \mathbb{C}} : |\lambda-6| \le |8|+|7|+|5|} $ $ D_4={\lambda\in \mathbb{C}} : |\lambda-1| \le |2|+|3|+|4|} $
Poi (credo) dato che $D_1=D_4$ e $D_2=D_3$ posso dire che $D=D_1 \cup D_3$, ma altro non riesco a dire...può bastare questa come risposta al quesito?

Grazie a tutti

[dissonance]

C'è il trucco di considerare pure la trasposta per migliorare la precisione della stima, lo hai applicato?

[bugger]

La trasposta della mia matrice è

$ ( ( 1 , 5 , 8 , 4 ),( 2 , 6 , 7 , 3 ),( 3 , 7 , 6 , 4 ),( 4 , 8 , 5 , 1 ) ) $

e quindi applicando il teorema ottengo $ D = \cup_{i=1}^4D_i $ dove $D_1 = {\lambda \in \mathbb{C} : |\lambda - 1|< |5|+|8|+|4|}$, $D_2 = {\lambda \in \mathbb{C} : |\lambda - 6|< |2|+|7|+|3|}$, $D_3 = {\lambda \in \mathbb{C} : |\lambda - 6|< |3|+|7|+|4|}$ e $D_4 = {\lambda \in \mathbb{C} : |\lambda - 1|< |4|+|8|+|5|}$
ovvero $D=D_1 \cup D_2 \cup D_3$

è corretto? ma cosa concludo?

[dissonance]

Eh buh chi ce l'ha il tempo di controllare i conti. Comunque con questo trucco puoi fare diventare più piccini i tuoi cerchi di Gershgorin.

E adesso, forza, ragiona. Devi trovare l'autovalore più grande in modulo. Disegnati i cerchi di Gershgorin e vedi di localizzarlo. Non chiedere ad ogni passo.