combinazione lineare e sistema di generatori

[darakum]

Ciao ragazzi..ho due domande da porvi che non mi sono molto chiare.

1) Dati i tre vettori di R^3 descrivere quando è possibile

- v1 come combinazione lineare di v2 e v3
- v2 come combinazione lineare di v1 e v3

v1 ≡ (1, −3, 7), v2 ≡ (2, −1, −1), v3 ≡ (0, 0, 0)

Ho verificato che i tre vettori risultano linearmente dipendenti ma ora come procedo ?

2) Come capire se i vettori sono o meno un sistema di generatori?



Mi serve qualche input per la risoluzione..chi è così gentile da aiutarmi?

[Gold D Roger]

Un vettore è linearmente dipendente se può essere espresso tramite una combinazione lineare, quindi
$ ( ( a ),( b ),( c ) )=alpha ( ( x ),( y ),( z ) ) +beta ( ( t ),( u ),( w ) ) $ e bisogna risolvere un sistema del tipo: $ { ( alphax+betat=a ),( alphay+betau=b ),( alphaz+betaw=c ):} $

Per quanto riguarda il punto due dovresti far vedere che i tre vettori dati possono essere usati per esprimere, tramite combinazione lineare, ogni vettore di $ mathbb(R^3) $.

[darakum]

Un vettore è linearmente dipendente se può essere espresso tramite una combinazione lineare, quindi
$ ( ( a ),( b ),( c ) )=alpha ( ( x ),( y ),( z ) ) +beta ( ( t ),( u ),( w ) ) $ e bisogna risolvere un sistema del tipo: $ { ( alphax+betat=a ),( alphay+betau=b ),( alphaz+betaw=c ):} $

Per quanto riguarda il punto due dovresti far vedere che i tre vettori dati possono essere usati per esprimere, tramite combinazione lineare, ogni vettore di $ mathbb(R^3) $.

Quindi il punto uno:

$ ( ( 1 ),( -3 ),( 7) )x + ( ( 2 ),( -1 ),( -1 ) )y + ( ( 0),( 0 ),( 0 ) )z = $ ( ( a ),( b ),( c ) )

Risolvo il sistema e associato così facendo..?

[Gold D Roger]

Devi esprimere $v_1$ come combinazione lineare di $v_2$ e $v_3$, o meglio, trovare degli scalari $alpha $, $beta $ che, moltiplicati rispettivamente per $v_2$ e $v_3$, ti diano $v_1$.

[darakum]

Devi esprimere $v_1$ come combinazione lineare di $v_2$ e $v_3$, o meglio, trovare degli scalari $alpha $, $beta $ che, moltiplicati rispettivamente per $v_2$, $v_3$ ti diano $v_1$.

Non ho ben capito..potresti scrivere il passaggio da fare?

[Gold D Roger]

Teoricamente dovresti trovare degli scalari $alpha$, $beta$ tali che:
$ alpha( ( 2 ),( -1 ),( -1 ) ) + beta ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) )=( (1) , (-3) , (7) ) $ cioè $ { ( 2alpha+0beta=1 ),( -alpha+0beta=-3 ),( -alpha+0beta=7 ):} rArr { ( 2alpha=1 ),( -alpha=-3 ),( -alpha=7 ):} $; però tale sistema è impossibile quindi $v_2$, $v_3$ non sono un insieme di generatori.

Nota che un insieme che contiene il vettore nullo non è un insieme di generatori in quanto i vettori non sarebbero linearmente indipendenti (infatti il rango della matrice contenente $v_1$, $v_2$, $v_3$ è 2, mentre il rango della matrice contenente $v_2$, $v_3$ è 1), pertanto un tale insieme non può essere una base.

[darakum]

Teoricamente dovresti trovare degli scalari $alpha$, $beta$ tali che:
$ alpha( ( 2 ),( -1 ),( -1 ) ) + beta ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) )=( (1) , (-3) , (7) ) $ cioè $ { ( 2alpha+0beta=1 ),( -alpha+0beta=-3 ),( -alpha+0beta=7 ):} rArr { ( 2alpha=1 ),( -alpha=-3 ),( -alpha=7 ):} $; però tale sistema è impossibile quindi $v_2$, $v_3$ non sono un insieme di generatori.

Nota che un insieme che contiene il vettore nullo non è un insieme di generatori in quanto i vettori non sarebbero linearmente indipendenti (infatti il rango della matrice contenente $v_1$, $v_2$, $v_3$ è 2, mentre il rango della matrice contenente $v_2$, $v_3$ è 1), pertanto un tale insieme non può essere una base.

Ciao,grazie per la risposta pertanto v1 non è combinazione lineare di v2 e v3 in quanto la soluzione del sistema viene (1/2,+3,-7) invece di (1,-3,7) giusto?



E stesso discorso per:

v2 come combinazione lineare di v1 e v3

v1 ≡ (1, −3, 7), v2 ≡ (2, −1, −1), v3 ≡ (0, 0, 0)

$ alpha( ( 1 ),( -3 ),( 7 ) ) + beta ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) )=( (2) , (-1) , (-1) ) $

$ { ( alpha+0beta=2 ),( -3alpha+0beta=-1 ),( 7alpha+0beta=-1 ):} rArr { ( alpha=2 ),( alpha=1/3 ),( alpha=-1/7 ):} $


Pertanto anche v2 non può essere espressa come combinazione lineare di v1 e v3..


Ancora grazie per l'aiuto!


NB: Colgo l'occasione per fare un ulteriore domanda e non aprire un altro topic..parlando di matrici cosa significa Ker fA e Im fA ?

[Gold D Roger]

Teoricamente dovresti trovare degli scalari $alpha$, $beta$ tali che:
$ alpha( ( 2 ),( -1 ),( -1 ) ) + beta ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) )=( (1) , (-3) , (7) ) $ cioè $ { ( 2alpha+0beta=1 ),( -alpha+0beta=-3 ),( -alpha+0beta=7 ):} rArr { ( 2alpha=1 ),( -alpha=-3 ),( -alpha=7 ):} $; però tale sistema è impossibile quindi $v_2$, $v_3$ non sono un insieme di generatori.

Nota che un insieme che contiene il vettore nullo non è un insieme di generatori in quanto i vettori non sarebbero linearmente indipendenti (infatti il rango della matrice contenente $v_1$, $v_2$, $v_3$ è 2, mentre il rango della matrice contenente $v_2$, $v_3$ è 1), pertanto un tale insieme non può essere una base.

Ciao,grazie per la risposta pertanto v1 non è combinazione lineare di v2 e v3 in quanto la soluzione del sistema viene (1/2,+3,-7) invece di (1,-3,7) giusto?

Assolutamente no! Il sistema non ammette soluzioni!
\( a=b \wedge b=c\Rightarrow a=c \) ; \( a\neq c\Rightarrow a\neq b\vee b\neq c \); pertanto $\alpha$ non può essere contemporaneamente uguale a $1/2$, $3$ e $-7$.

Stesso discorso per:

v2 come combinazione lineare di v1 e v3

v1 ≡ (1, −3, 7), v2 ≡ (2, −1, −1), v3 ≡ (0, 0, 0)

$ alpha( ( 1 ),( -3 ),( 7 ) ) + beta ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) )=( (2) , (-1) , (-1) ) $

$ { ( alpha+0beta=2 ),( -3alpha+0beta=-1 ),( 7alpha+0beta=-1 ):} rArr { ( alpha=2 ),( alpha=1/3 ),( alpha=-1/7 ):} $


Pertanto anche v2 non può essere espressa come combinazione lineare di v1 e v3..

$v_2$ non può essere espresso come combinazione lineare di $v_1$, $v_3$, tuttavia il sistema è impossibile quindi non ha soluzioni. Inoltre $\alpha$ è uno scalare e non un vettore

NB: Colgo l'occasione per fare un ulteriore domanda e non aprire un altro topic..parlando di matrici cosa significa Ker fA e Im fA ?

Il ker è la funzione che manda i vettore dell'insieme V in zero di W \(f:V\rightarrow W \); $V,W,$ spazi vettoriali \( ker(f)=[v\in V:f(v)=0_W] \).
A nxm, \( L_A:\mathbb{R^m} \Rightarrow \mathbb{R^n} \); \( ker(L_A)=[v\in \mathbb{R} : L_A(v)=0]=[v\in \mathbb{R^m} : Av=0] \), cioè è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo.

L'immagine è l'insieme di tutte le immagini di tutti i vettori di V cioè \( Im(f)=[w\in W / \exists v\in V : f(v)=w] \).

[darakum]

Ciao,ancora grazie..

Quindi se invece del vettore nullo era presente un vettore non nullo e con gli stessi passaggi,trovate le soluzioni coincidevano con il vettore v2,potevo affermare,solo in questo caso, che il vettore v2 è combinazione lineare di v1 e v3 ?

[Gold D Roger]

Ciao,ancora grazie..

Quindi se invece del vettore nullo era presente un vettore non nullo e con gli stessi passaggi,trovate le soluzioni coincidevano con il vettore v2,potevo affermare,solo in questo caso, che il vettore v2 è combinazione lineare di v1 e v3 ?

Non esattamente.
Facciamo un esempio pratico
$ v=( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ), w=( ( 2 ),( 0 ),( 1) ), u=( ( 8 ),( 2),( 5) ) $ sono vettori linearmente dipendenti.
Vogliamo scrivere $u$ come combinazione lineare di $v$ e $w$, allora $alphav+betaw=u$ se e solo se
$ alpha( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )+beta( ( 2 ),( 0 ),( 1) )=( ( 8 ),( 2),( 5) ) $ cioè $ { ( alpha+2beta=8 ),( alpha=2 ),( alpha+beta=5 ):} $ \( \Longleftrightarrow \) $ { ( alpha=2 ),( beta=3 ):} $;
infatti $2v+3w=u $ equivalentemente $ 2 ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) )+ 3 ( ( 2 ),( 0 ),( 1) )=( ( 8 ),( 2),( 5) ) $.