Endomorfismo ortogonalmente diagonalizzabile

[Peppermint]

Ciao a tutti, sto cercando di risolvere un problema e non avendo la soluzione non so se sto procendendo correttamente o sbagliando tutto..
Questo è il testo:

Sia $g_k$ un endomorfismo di $R^2$ con $g_k(x,y)=(2x,(k+1)x+2y)$ con $k \in R $
1. dire al variare di $k \in R $ se $g_k$ sia semplice.
2. scrivere, se possibile, un endomorfismo h di $E^3$ tale che $M_(\varepsilon , \varepsilon)(h)$ sia ortogonalmente diagonalizzabile e che sul piano $z=0$ coincida con la $g_k$ dove il valore di k è quello che soddisfa il punto 1

1. Scrivo la matrice associata rispetto alle basi canoniche

$A=((2,0),(k+1,2))$ e calcolo gli autovalori che risultano essere $ \lambda _1=2 , \lambda _2=2 $ quindi il mio autovalore è 2 con molteplicità algebrica 2
per calcolare la molteplicità geometrica ho usato la formula $mg=dim(R^2)-r(A- \lambda I)$
quindi mg=1
dato che la somma delle molteplicità geometriche non è uguale alla dimensione di $R^2$ cioè 2 dico che non è semplice

giusto? poi non so piu come andare avanti

[Samy21]

dato che la somma delle molteplicità geometriche non è uguale alla dimensione di $R^2$ cioè 2 dico che non è semplice

Ciao,

per sapere se un endomorfismo è semplice puoi considerare due casi:
1. gli autovalori sono TUTTI distinti, cioè hanno tutti molteplicità 1;
2. nel caso in cui gli autovalori hanno molteplicità maggiore di 1, bisogna vedere se le due molteplicità (algebrica e geometrica) corrispondono, cioè hanno entrambe lo stesso valore.

Sei sicuro di aver capito bene questo concetto? Non capisco perchè parli di somma di molteplicità.

[Peppermint]

facevo riferimento a una proposizione del mio libro che dice che se io ho un endomorfismo $f:V \rightarrow V$ con $dimV=n$ e $\lambda_1 , ... \lambda_s$ i suoi autovalori distinti. Allora f è semplice se e solo se $mg_1+...+mg_s=n$

[Samy21]

Capisco. Io non ho verificato i tuoi conti ma se sono giusti hai trovato un solo autovalore di molteplicità 2, pertanto non rientri nel caso 1. da me scritto nel post precedente (cioè gli autovalori non sono distinti). Occorre quindi calcolare la molteplicità geometrica e vedere se ottieni 2.

[Peppermint]

Occorre quindi calcolare la molteplicità geometrica e vedere se ottieni 2.

se $A=((2,0),(k+1,2))$ ottengo che $A- \lambda I =((0,0),(k+1,0))$ che ha rango 1.

Quindi, applicando la formula $mg=dim(R^2)-r(A- \lambda I)$ ottengo che $mg=2-1=1$ quindi non è semplice.. giusto?

[Samy21]

Quindi, applicando la formula $mg=dim(R^2)-r(A- \lambda I)$ ottengo che $mg=2-1=1$ quindi non è semplice.. giusto?

Esatto!

(Scusa per il ritardo nella risposta ma sono rimasta senza connessione )