Condizione Sufficiente: Omeomorfismo Locale -> Riverstimento

[Edex]

Salve ragazzi,
il professore ci ha enunciato la seguente proposizione senza darne dimostrazione ed io non riesco a capire come fare.

Siano X,Y spazi topologici di Hausdorff. Y localmente compatto: ogni suo punto ammette un intorno compatto.
Sia $f: X \rightarrow Y$ una funzione tale che:
i) f è un omeomorfismo locale: $\forall x \in X \exists U \subseteq X$ aperto tale che $x \in U$, $f(U)$ è aperto e $f: U \rightarrow f(U)$ è un omeomorfismo
ii) f è propria: $\forall K \subseteq Y$, $K$ compatto, $f^{-1}(K)$ è compatto
Allora f è un rivestimento.

Per $f: X \rightarrow Y$ rivestimento intendo che:
i) f è continua
ii) $\forall y \in Y \exists V \subseteq Y$ t.c. $V$ è aperto, $y \in V$, $f^{-1}(V) = \bigcup_{i \in I} U_i$ dove ogni $U_i$ è aperto, $U_i \cap U_j = \emptyset$ se $i \ne j$ e $f: U_i \rightarrow V$ è un omeomeorfismo.

Sinceramente non riesco a capire neanche da dove iniziare.
Non vedo neanche il motivo per cui f dovrebbe essere suriettiva (condizione necessaria affinchè sia un rivestimento).
Grazie per l'aiuto!

[j18eos]

Almeno sai dimostrare che \(\displaystyle f\) è una funzione continua?

[Edex]

Preso $x \in X$ sia $V \subseteq Y$ aperto tale che $f(x) \in V$.
Sia $U_x$ l'aperto dato dalla definizione di omeomorfismo locale. Considero l'aperto non vuoto $S = f(U_x) \cap V \subseteq f(U_x)$ e ne considero la preimmagine tramite f in $U_x$, chiamiamola $M$.
Questo è un aperto di $U_x$, ma essendo $U_x$ aperto in $X$ allora $M$ è aperto anche in $X$.
Vale che $x \in M$ perchè $f(x) \in S$ e $f(M) = S = f(U_x) \cap V \subseteq V$ dove la prima uguaglianza vale perchè f ristretta a $U_x$ è biunivoca. Ho quindi verificato la definizione di continuità in $x$, ma per generalità di $x$ allora $f$ è continua in $X$.
Giusto?
Questo non segue dalla sola proprietà di omeomorfismo locale comunque? Cioè, se la dimostrazione che ho dato è giusta ho usato solo quella proprietà.

[j18eos]

Ok, mi trovo; però usi solo l'ipotesi che \(\displaystyle f\) sia un omeomorfismo locale.

Una curiosità: nella definizione di locale compattezza, cosa intendi per intorno compatto? Un insieme aperto a chiusura compatta, o un compatto a interno non vuoto che funge da intorno aperto?

[Edex]

Bella domanda, il professore non lo ha specificato e io non mi ero posto il problema. Le due cose sono però equivalenti, no?

[j18eos]

... Le due cose sono però equivalenti, no?

Conoscendomi, poiché fa caldo: mi prendo il diritto di pensarci (letteralmente) a mente fresca in ore più fresche.

Nella definizione di rivestimento, devi usare l'unione e non l'intersezione; altrimenti, per come impostata, quella intersezione è vuota.

Senza ledere la generalità di dimostrazione, supponi che \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle Y\) sono connessi¹, e prova a dimostrare che:
\[
\{y\in Y\mid\not\exists x\in X:f(x)=y\}=Y\setminus f(X)=\emptyset.
\]

---

Note

1. Perché non si lede la generalità di dimostrazione? ↑

[Edex]

Hai ragione, ho modificato il post iniziale!
Per quanto riguarda $Y \\ f(X)$
Preso $y = f(x)$ considero $U_x$ l'aperto della definizione di omeomorfismo locale,allora $f(U_x)$ è un aperto che contene $y$ e tutto contenuto in $f(X)$. Per generalità di $y$ ottengo che $f(X)$ è aperto.
L'idea ora, visto che $Y$ lo supponiamo connesso, è di dimostrare che $f(X)$ è anche chiuso, ma non ci riesco.
Quello che non riesco a capire poi è a cosa serve l'ipotesi di connessione su $X$.
Per quanto riguarda il non ledere la generalità ci sto pensando!

[j18eos]

... Le due cose sono però equivalenti, no?

Conoscendomi, poiché fa caldo: mi prendo il diritto di pensarci (letteralmente) a mente fresca in ore più fresche...

Al solito mi sono complicato la vita: siano \(\displaystyle S\) uno spazio topologico e \(\displaystyle x\) un suo punto; un insieme \(\displaystyle I\) si definisce intorno di \(\displaystyle x\) se \(\displaystyle x\) è interno a \(\displaystyle I\).

...Per quanto riguarda il non ledere la generalità ci sto pensando!

Di uno spazio topologico puoi sempre considerarne le componenti connesse, e...

Se \(\displaystyle X\) è connesso allora \(\displaystyle f(X)\)...

...e la chiusura di un insieme connesso in uno spazio topologico ambiente, che proprietà soddisfa?

[vict85]

Vi state perdendo in un bicchiere d'acqua: se \(K\) è un intorno che è compatto allora contiene un aperto \(U\) la cui chiusura è un chiuso in un compatto e quindi è compatta. Diciamo che puoi dare per scontato che ogni aperto sufficientemente piccolo sia a chiusura compatta.

Sulla suriettività non saprei che dire comunque. Non escludo che il professore se la sia dimenticata da qualche parte.

Comunque io userei questo procedimento. Se \(\displaystyle y\in f(X) \) allora:

1. \(\displaystyle \{y\} \) è chiuso perché \(\displaystyle Y \) è \(\displaystyle T2 \);
2. \(\displaystyle \{y\} \subset K \) con \(\displaystyle K \) compatto perché \(\displaystyle Y \) è localmente compatto;
3. \(\displaystyle \{y\} \) è compatto in quanto chiuso in un compatto;
4. \(\displaystyle f^{-1}(y) \) è chiuso e compatto in quanto \(\displaystyle f \) è propria;
5. \(\displaystyle f^{-1}(y) \) ha la topologia discreta perché \(\displaystyle X \) è Haudorff;
6. \(\displaystyle f^{-1}(y) \) è finito in quanto compatto con la topologia discreta;
7. esistono aperti \(\displaystyle \{U_i\} \) che separano i punti di \(\displaystyle f^{-1}(y) \) per i due punti precedenti;
8. intersecando le immagini di questi aperti ed eventualmente prendendo un aperto \(\displaystyle U \) più piccolo posso supporre che \(\displaystyle f^{-1}(U) \) sia unione finita di un numero finito di aperti disgiunti tutti omeomorfi a \(\displaystyle U \).

[Edex]

@vict:
Ci sono sui punti 1,2,3,4.
Sul 5: non segue dal fatto che $f$ è un omeomorfismo locale?
Nel senso: preso $x \in f^{-1}(y)$ se considero $U_x$ aperto dato dalla definizione di omeomorfismo locale allora $f^{-1}(y) \cap U_x = {x}$ per iniettività di $f$ ristretta a $U_x$. Non vedo come segua anche dal fatto che $X$ è Hausdorff.
Ok i punti 6,7.
Per l'otto: scelgo gli $U_i$ a due a due disgiunti (lo posso fare perchè X è Hausdorff) e tali che $f$ ristretta a $U_i$ è un omeomorfismo in $f(U_i)$ (va bene a meno di scambiare gli $U_i$ della definizione di omeomorfismo locale con la loro interesezione con gli aperti che separano i punti di $f^{-1}(y)$). Prendo quindi l'intersezione delle immagini degli $U_i$, se ora fosse vero che la preimmagine di questa intersezione tramite $f$ (aperta perchè $f$ continua) è tutta contenuta nell'unione degli $U_i$ potrei spezzarla negli aperti:
$U_i \cap (\bigcap_{j=1,..,n} f^{-1}(f(U_j))$
Che sono disgiunti perchè lo erano gli $U_i$ ed $f$ ristretta ad ognuno di essi è un omeomorfismo nell'intersezione delle immagini degli $U_i$ (iniettiva perchè siamo in un sottoinsieme di $U_i$, suriettiva perchè $f(U_i)$ contiene l'intersezione delle immagini degli $U_i$, quindi se interseco $U_i$ con la preimmagine di quell'aperto continuo ad avere un funzione suriettiva). Mi basterebbe anche che ci fosse un aperto $V$ contenuto in quell'intersezione la cui preimmagine fosse tutta contenuta nell'unione degli $U_i$ per applicare lo stesso procedimento, ma come posso esserne sicuro?

@j18eos:
In questo modo ottengo che la chiusura di $f(X)$ è connessa, hint per proseguire?