Il modo in cui scrivi un tensore di rango \(1\), io userei il termine decomponibile, non sono necessariamente espressi nel modo "ovvio". Insomma nel caso \((2,0)\) è equivalente al calcolo del rango della matrice, nel caso più generale non è così semplice.
Comunque l'immagine della funzione \(f(v,w)\mapsto v\otimes w\) non è un sottospazio; il più piccolo sottospazio che lo contiene è infatti \(V\otimes V\).
Non devi confondere una funzione multilineari (bilineare in questo caso), con una funzione lineare. Infatti una funzione bilineare non è lineare. Per capirci:
LINEARE
\(2f(x,y) = f(2x,2y)\)
BILINEARE
\(2f(x,y) = f(2x,y) = f(x,2y\)