Continuità per successioni

[Epimenide93]

Pardonnez-moi, ho dato per scontata una cosa che non lo è affatto. Con \(\widetilde{\mathbb{N}}\) indico la compattificazione di Alexandrov di \(\mathbb{N}\). Come hai ben intuito gli insiemi del tipo \(\{N,N+1, \ldots\}\) sono aperti in questo spazio e come ha detto anche j18eos si ha che \(\infty \in \widetilde{\mathbb{N}}\), ed anche gli insiemi del tipo \(\{N,N+1, \ldots , \infty \}\) (intorni di \(\infty\)) sono aperti. Si ha che \(\infty\) è l'unico punto di accumulazione di questo spazio e che \(\{\infty\}\) è l'unico singoletto non aperto. Purtroppo si tende a mettere poco in evidenza il fatto che le successioni convergenti possono anche essere viste come le applicazioni continue aventi come dominio \(\widetilde{\mathbb{N}}\).

Tra l'altro mentre scrivevo questo commento mi sono reso conto di aver commesso un'ingenuità nella dimostrazione della necessità. Dal momento che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(n) = f(\infty) \) l'identificazione tra successioni convergenti e applicazioni da \(\widetilde{\mathbb{N}}\) si può considerare solo se il limite è univoco, altrimenti la funzione non è ben definita. La sostanza della dimostrazione rimane la stessa, e si può facilmente adattare al caso generale (spendendo qualche parola in più), ma formalmente quello che ho scritto vale solo nel caso in cui \(E\) ed \(F\) sono spazi di Hausdorff.

[DavideGenova]

Bello bello... Grazie per la precisazione!!!