da Martino » 27/11/2014, 01:07
Con la mia definizione \( \displaystyle T_S := \{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\ :\ f(s)=0\ \forall s \in S\} \) . Nel seguito dati due insiemi \( \displaystyle A,B \) indico con \( \displaystyle A^B \) l'insieme delle funzioni \( \displaystyle B \to A \) . Qualsiasi operazione \( \displaystyle \ast \) su \( \displaystyle A \) induce un'operazione su \( \displaystyle A^B \) definita da \( \displaystyle (f \ast g)(b) := f(b) \ast g(b) \) dove \( \displaystyle b \in B \) . In particolare se \( \displaystyle A \) è uno spazio vettoriale allora anche \( \displaystyle A^B \) è uno spazio vettoriale con le operazioni indotte (la moltiplicazione per scalare sarà \( \displaystyle (\lambda f)(b) := \lambda f(b) \) ).
Ora \( \displaystyle T_S \cong \mathbb{R}^{\mathbb{R}-S} \) (come spazi vettoriali). L'isomorfismo è dato dalla restrizione a \( \displaystyle \mathbb{R}-S \) . In pratica sto dicendo che conoscere una funzione di cui si sa che è nulla in ogni elemento di \( \displaystyle S \) equivale a conoscerla fuori da \( \displaystyle S \) . Nel tuo caso \( \displaystyle \mathbb{R}-S = \{1,2,\pi\} \) quindi \( \displaystyle T_S \cong \mathbb{R}^{\{1,2,\pi\}} \cong \mathbb{R}^3 \) .
Più esplicitamente, dato \( \displaystyle a \in \mathbb{R} \) considera la funzione \( \displaystyle \chi_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \( \displaystyle \chi_a(x) = 1 \) se \( \displaystyle x=a \) e \( \displaystyle \chi_a(x)=0 \) se \( \displaystyle x \neq a \) . Allora certamente il tuo \( \displaystyle T \) contiene \( \displaystyle \chi_1,\chi_2 \) e \( \displaystyle \chi_{\pi} \) (sei d'accordo? Basta controllare la definizione). Non solo, ma ogni elemento \( \displaystyle f \in T \) è del tipo \( \displaystyle \alpha \chi_1 + \beta \chi_2 + \gamma \chi_{\pi} \) , basta prendere \( \displaystyle \alpha = f(1) \) , \( \displaystyle \beta = f(2) \) e \( \displaystyle \gamma = f(\pi) \) . Inoltre, \( \displaystyle \chi_1,\chi_2,\chi_{\pi} \) sono linearmente indipendenti (prendi una combinazione lineare che fa zero e prova a valutarla in \( \displaystyle 1,2,\pi \) ). Quindi \( \displaystyle \{\chi_1,\chi_2,\chi_{\pi}\} \) è una base di \( \displaystyle T \) .
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.