Teorema di Lee-Wha-Chung

[newton_1372]

Come si dimostra che ogni forma differenziale $A_i dp_i+B_j dq_j$ che mi fa il piacere di essere un invariante integrale universale, ovvero tale che
$\int_\gamma A_i dp_i + B_j dq_j = C$ per ogni $\gamma$ disegnato in un tubo di flusso Hamiltoniano DEVE ESSERE un multiplo dell'invariante di Poincarè Cartan? Cioè la tesi è che sotto questa ipotesi esiste una $c$ tale che
$ A_i dp_i + B_j dq_j = c( p_i dq_i)$
(TEOREMA DI LEE WHA-CHUNG, da me soprannominato "teorema del muso giallo")

Di questa cosa ho trovato una dimostrazione per un solo grado di libertà: in questo modo gamma è una curva tracciata sullo spazio tridimensionale (q,p,t). Nella dimostrazione vengono usati concetti come il rotore, il teorema di Stokes...concetti che esistono solo in R3.

Ma è possibile avere una dimostrazione completa, valida per piu gradi di libertà?

Se vi linko la dimostrazione con n=1, mi scrivereste la generalizzazione? Che strumenti matematici servono?

[j18eos]

...Nella dimostrazione vengono usati concetti come il rotore, il teorema di Stokes...concetti che esistono solo in R3...

Falso!

Basta studiare un pò di geometria riemanniana, la lingua della meccanica hamiltoniana, e vedrai che questi concetti si generalizzano ad \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) ed oltre...

Qualche riferimento bibliografico:

1. Abate, Tovena - Geometria Differenziale;
2. Abraham, Marsden - Foundations of Mechanics;
3. Spivak - Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus.

Sono sicuro che Spivak, in uno dei 5 volumi di A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, generalizzi ma non ho il tempo di cercarlo; ignoro se Lee in Riemannian Geometry faccia lo stesso.

[newton_1372]

Se trascrivo qui una dimostrazione per n=1, mi scrivereste la generalizzazione a n qualunque?

[j18eos]

Non conosco questo teorema; ti ho solo fornito dei riferimenti bibliografici utili...

[newton_1372]

Quello che chiedevo è di costruirmi una "versione" della dimostrazione per n>1...mi viene promesso nel libro che "per n>1 la dimostrazione cambia solo nella forma, non nella sostanza". Trascrivo?

[j18eos]

Mi spiace che non possa esserti ulteriormente utile, ti ho solo fornito delle informazioni bibliografiche;

non conosco la tua conoscenza della geometria riemanniana, ma sicuramente io non sono in grado di trascriverti una dimostrazione da te richiesta.

[newton_1372]

Intanto la posso trascrivere?

[j18eos]

Solo se non viola il regolamento vigente.

[apatriarca]

Puoi trascrivere la dimostrazione senza problemi. Non conosco il particolare teorema (non ho fatto molto di geometria simplettica e comunque la tesi che hai scritto è molto più "da fisico"* di quelle con cui ho avuto normalmente a che fare), ma guardando su internet ho notato che anche la tesi del teorema sembra essere spesso diversa da quella che hai dato. Sono molto probabilmente equivalenti, ma forse l'altra formulazione porta più facilmente ad una dimostrazione nel caso generico.

* Nel senso che è basata molto sulle coordinate. Sono una frana con i calcoli e preferisco normalmente fare uso di strutture/definizioni/oggetti.. più astratte.

[newton_1372]

Prima di trascriverla, una curiosità.

Come posso generalizzare il rotore per dimensioni maggiori di 3? Vale ancora che sotto opportune ipotesi una forma differenziale $A_i dx_i$ è esatta se e solo se è "irrotazionale" (nel senso generalizzato)?