da alessandro8 » 24/05/2015, 17:33
Ciao.
Se per "sistema di vettori" intendi un insieme avente come elementi quei vettori, allora la risposta è negativa.
Avendo dei vettori linearmente indipendenti, prendendo a caso alcuni di essi (evitando, ovviamente, estrazioni ripetute di uno stesso vettore tra quelli dati), si otterranno nuovamente vettori linearmente indipendenti.
Infatti: supponendo per assurdo che, da un insieme di vettori $vec v_1, vec v_2, ....., vec v_n$ linearmente indipendenti si possano estrarre, tra questi, alcuni vettori $vec w_1, vec w_2, ....., vec w_m$ (con $m<n$ e con $vec w_i=vec v_j$ per un opportuno valore di $j$ con $i$ fissato), che siano linearmente dipendenti, dovremmo avere l'esistenza di scalari $a_i$ tale che valga:
$sum_{i=1}^m a_i*vec w_i= vec 0$ con $a_i$ non tutti nulli.
Estendendo la sommatoria su tutti gli $n$ termini della combinazione lineare e attribuendo valore nullo agli scalari associabili ai vettori $vec v_i$ non presenti tra i vettori $vec w_i$, avremmo
$sum_{i=1}^n a_i*vec v_i= vec 0$ con $a_i$ non tutti nulli
che contraddirrebbe l'ipotesi che $vec v_1, vec v_2, ....., vec v_n$ siano linearmente indipendenti.
Saluti.