Esercizio su Galois

[alby941]

Buonasera, mi trovo in difficoltà nell'affrontare esercizi sui campi di galois , siccome dalla teoria non trovo molti spunti su come risolverli. Un esercizio dice : dato GF(16) calcolare l'ordine.

So che $16=2^4$ e quindi gli elementi sono 16.. ora, come procedere ?
Grazie

[j18eos]

Scusami se ti offendo, ma dalle mia parti \(\displaystyle GF(16)\) è il campo finito di \(\displaystyle16\) elementi: qual è l'esercizio?

[alby941]

Si, è quello che pensavo, solo che poi ho visto la soluzione di un compagno ed era stato trovato un polinomio irriducibile per poter eseguire le divisioni.. e si elevava questo polinomio a potenze crescenti finche non si trovava l'unità. Appunto non ho capito cosa abbia fatto il compagno , e penso sia corretto siccome era stato svolto in classe

[j18eos]

Allora l'esercizio è costruire un modello di \(\displaystyle GF(16)\)!

Come tu stess* hai notato: \(\displaystyle 16=2^4\) quindi \(\displaystyle GF(16)\) può essere costruito come un'estensione algebrica di \(\displaystyle GF(2)\) a.k.a. \(\displaystyle\mathbb{Z}_2\), che già si sa che esiste.

Riesci a trovare un polinomio monico e irriducibile su \(\displaystyle\mathbb{Z}_2\) di grado \(\displaystyle 4\)?

[alby941]

Allora, non so come fare a trovarlo, ma so per teoria che $t^4+t^2+1$ è irriducibile. Ora vorrei sapere, perché bisogna trovare questo polinomio irriducibile?

[j18eos]

Il concetto di estensione di un campo ti è chiaro?

[alby941]

A meno che non abbia anche altri nomi no, non l ho fatta

[j18eos]

Me ne stupisco!, ma non le hai ancora studiate o non sono affatto nel programma?

[alby941]

Ripeto, a meno che le estensioni di campi non abbiano anche altri nomi no, non sono proprio nel programma ... ma l'esercizio può essere affrontato con quello visto a lezione

[j18eos]

Potrei vedere il programma del corso, così da capire cosa (non) puoi usare per risolvere l'esercizio!