Diagonalizzazione con parametro

[cooper]

da una veloce letta (mi sembra di si). ma i conti ora non sono troppo importanti, basta che hai capito il procedimento i conti li puoi controllare poi con calma.
anche la parte finale è corretta. fai a meno di fare la verifica, seguendo il procedimento indicato è automaticamente verificato, se fai tutto bene.

[dino!]

ho capito, ti ringrazio

[dino!]

scusate ma sono costretto a riaprire una mia vecchia discussione dato che svolgendo un altro esercizio sono sorti parecchi dubbi. e spero che con il vostro aiuto io possa finalmente capire.

CASO 1 - Se considero l'autovettore $ lambda1=0 $ la matrice che si viene a determinare è $ [ ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $ . Dato che il minore di ordine 3 (ovvero la matrice completa) ha $ det=0 $ sono costretto a prendere un minore di ordine 2.
Se prendo il minore $ [ ( t-4 , 0 ),( t , 4 ) ] $ e ne calcolo il determinate avrò: $ det | ( t-4 , 0 ),( t , 4 ) | =4(t-4)=4t-16=0 $ che per $ t=4 $ si annulla. Avevamo dunque concluso che se $ t=4-> det | ( 0 , 0 ),( 4 , 4 ) | =0-> r=1 $, da cui $ dim(Ker[A0])=3-dim(Im[A0])=3-1=2 $, il che vuol dire che essendo molteplicità geometrica e molteplicità algebrica diverse la matrice non è diagonalizzabile. Tuttavia andando a sostituire $ t=4 $ alla matrice completa avrei $ [ ( 0 , 0 , 4 ),( 4 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $,il cui rango come ha detto anto_zoolander è $ r=2 $, tuttavia proprio per questo varrà l'equivalenza tra molteplicità geometrica e algebrica e quindi la matrice sarà diagonalizzabile.
D'altro canto se anziché considerare il minore con parametro avessi preso il minore $ [ ( 0 , 4 ),( 4 , 0 ) ] $ la matrice sarebbe stata sempre diagonalizzabile (dato il suo rango sarebbe stato sempre =2). Ne concludo che per $ t=4 $ la matrice è sempre diagonalizzabile.

CASO 2 - Se considero l'autovettore $ lambda1=t-4 $ la matrice che si viene a determinare è $ [ ( 0 , 0 , 4 ),( t , -t+8 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) ] $ . Dato che il minore di ordine 3 (ovvero la matrice completa) ha $ det=0 $ sono costretto a prendere un minore di ordine 2.
Se prendo il minore $ [ ( 0 , 4 ),( -t+8 , 0 ) ] $ e ne calcolo il determinate avrò: $ det | ( 0 , 4 ),( -t+8 , 0 ) | =-4(-t+8)=4t-32=0 $ che per $ t=8 $ si annulla. Avevamo dunque concluso che se $ t=8-> det | ( 0 , 4 ),( 0 , 0 ) | =0-> =1 $, da cui $ dim(Ker[A0])=3-dim(Im[A0])=3-1=2 $, il che vuol dire che essendo molteplicità geometrica e molteplicità algebrica diverse la matrice non è diagonalizzabile. Tuttavia andando a sostituire $ t=8 $ alla matrice completa avrei $ [ ( 0 , 0 , 4 ),( 8 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 4 ) ] $,il cui rango (se considero il minore $ | ( 0 , 4 ),( 8 , 0 ) | $ ) è $ r=2 $, quindi la matrice sarà diagonalizzabile anche per $ t=8 $.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--> Insomma: perché dite che per quei valori ($ t=4, t=8, t=0 $) la matrice non è diagonalizzabile? Nel primo caso, già considerando un minore diverso da quello con parametro avrei sempre $ r=2 $ il che implica sempre la possibilità di diagonalizzare. Nel secondo caso, sostituendo 8 alla matrice e considerando il minore $ | ( 0 , 4 ),( 8 , 0 ) | $ avrei sempre $ r=2 $ e quindi sempre la possibilità di diagonalizzare.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Questi dubbi mi sono sorti facendo quest'altro esercizio, che allego per farvi capire meglio se e dove sbaglio.

"Data la matrice dipendente da parametro $ A= ( ( 2 , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 2 , t ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ verifica che è diagonalizzabile per tutti i valori di t, quindi diagonalizzala".

$ A= ( ( 2 , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 2 , t ),( 0 , 0 , 0 ) ) = [ ( 2-lambda , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 2-lambda , t ),( 0 , 0 , -lambda ) ] ->det| ( 2-lambda , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 2-lambda , t ),( 0 , 0 , -lambda ) | {: ( 2-lambda , 0 ),( 0 , 2-lambda ),( 0 , 0 ) :} =(2-lambda)^2(-lambda)=-4lambda-lambda^3+lambda^2=lambda^3-4lambda^2+4lambda=lambda(lambda^2-4lambda+4)=0 $
da cui $ lambda1=0 $ e $ lambda^2-4lambda+4=0 -> lambda2,3=2+-root()(4-4)=2 $. Il primo autovalore ha molteplicità algebrica 1 e il secondo molteplicità algebrica 2.

$ bar(u) $ autovettore di $ lambda1=0 $ se e solo se $ bar(u)!=bar(0) $ e $ A0bar(u)=bar(0) $:
$ [ ( 2 , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 2 , t ),( 0 , 0 , 0 ) ] $ ORA LA DOMANDA E': DEVO CONSIDERARE PER FORZA IL MINORE CHE HA AL SUO INTERNO IL PARAMETRO O POSSO CONSIDERARNE ANCHE UN ALTRO? Perché se considero il minore $ [ ( 2 , 0 ),( 0 , 2 ) ] $ ho che $ r=2 $, quindi la matrice è diagonalizzabile. Se invece considero il minore $ [ ( 2 , 1-t^2 ),( 0 , t ) ] $ avrò $ det | ( 2, 1-t^2), ( 0, t ) ] = 2t -> t=0 $, il che se fosse giusto il ragionamento fatto in precedenza dovrebbe farmi concludere che per $ t=0 $ la matrice non è diagonalizzabile dato che $ det | ( 2, 1), ( 0, 0 ) ] = 0 -> r=1 $. Eppure il testo dell'esercizio dice "verifica che è diagonalizzabile per tutti i valori di $ t $".

$ bar(v) $ autovettore di $ lambda2=2 $ se e solo se $ bar(v)!=bar(0) $ e $ A0bar(v)=bar(0) $:
$ [ ( 0 , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 0 , t ),( 0 , 0 , -2 ) ] $ Qui il fatto che la matrice sia diagonalizzabile per tutti i valori di $ t $ dovrebbe dipendere dal fatto che, essendoci quel $ -2 $, la matrice (a prescindere dal valore di $ t $ scelto, avrà sempre $ r=1 $, il che vuol dire che molteplicità geometrica e molteplicità algebrica si uguaglieranno sempre .

Qualcuno mi aiuti, ho veramente una gran confusione riguardo questo tipo di esercizi.

[cooper]

non capisco perchè ti ostini a calcolare il determinante di quella matrice, non serve. per capire se una matrice è diagonalizzabile vai a studiare l'autospazio. devi quindi risolvere il sistema:
$ (A-lambda_iI)=0 $
facendo i calcoli dovresti poter arrivare a dare delle condizioni su t per la diagonizzabilità.
guarda questa discussione. credo faccia al caso tuo.

[dino!]

Ho letto la discussione che gentilmente mi hai linkato e sono giunto alle tue stesse conclusioni. Solo che questa matrice non lo so, mi mette in difficoltà . Fatto sta che il procedimento corretto dovrebbe essere:
1) calcolo degli autovalori
2) per ognuno di essi calcolo degli autospazi (e nel farlo non devo necessariamente considerare i minori contenenti il parametro ma posso prenderne uno a caso, anche privo di parametro, esattamente come nel caso di calcolo degli autospazi per matrici senza parametro)
3) per determinare per quali valori di $ t $ la matrice è diagonalizzabile devo prendere espressamente i minori con parametro e giungere alla seguente conclusione: se il minore si annulla per un determinato valore di $ t $ la matrice non è diagonalizzabile, viceversa la diagonalizzazione è possibile. Basta questo. Non devo andare a risostituire il valore di $ t $ individuato nella matrice $ Alambdabar(x) $ e calcolare il determinante, non serve (come hai giustamente detto tu).

Spero sia corretto. Nel qual caso, grazie mille per la pazienza

[cooper]

mi sembra che sia corretta l'impostazione. personalmente comunque per calcolare gli autospazi non ho mai usato i minori (ragiono sul sistema e basta) ma magari è un metodo che non conosco.

[Ghidan]

(t−4−λ)(−4λ+λ2) scusate se vi correggo ma senza fare i calcoli raggruppi λ e ottieni (t-4-λ)(λ(λ-4)) quindi hai λ(1) = t-4, λ(2)=0 e λ(3) = 4 e risparmi calcoli inutili che potresti sbagliare per disattenzione

[cooper]

va bhe come uno calcola gli autovalori è piuttosto indifferente. sicuramente con la tua scorciatoia (molto utilee) eviti dei calcoli e minimizzi gli errori, ma non era in particolare quello il problema dell'utente. lì basta prestare un po' d'attenzione ai calcoli.

[dino!]

Un ultima cosa, nella speranza di togliermi ogni dubbio relativamente a questo genere di esercizi.
Relativamente al secondo esercizio, al momento del calcolo dell'autovettore relativo a $ lambda2=2 $ risultante dalla matrice $ [ ( 0 , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 0 , t ),( 0 , 0 , -2 ) ] $ vado a porre per rouchè-capelli $ -2x3=0 -> x3=0 $, quindi imponendo $ k=x1 in R $ e $ l=x2 in R $ ottengo come autovettore $ (k,l,0) $.
A questo punto, sapendo che la matrice diagonalizzante è composta da tutti autovettori tra loro indipendenti devo trovare due autovettori che soddisfino tale condizione. Se pongo per il primo autovettore $ k=1 $ e $ l=0 $, e per il secondo autovettore $ k=0 $ e $ l=1 $, trovo che $ det | ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) | = 1!=0 $ quindi gli autovettori sono linearmente indipendenti per cui i due autovettori relativi all'autovalore $ lambda=2 $ possono essere $ (1,0,0) $ e $ (0,1,0) $.

E' corretto?

[cooper]

direi di si