Devo risolvere vari sistemi di N equazioni lineari in 8 incognite (con \(\displaystyle N\geq 8 \)) in cui i termini noti non sono "precisi", poiché approssimati all'intero più vicino. Le 8 incognite sono reali positive (non nulle).
Cerco di spiegarmi con questo esempio inventato:
\(\displaystyle \begin{cases}
2x_1+10x_2+18x_3+26x_4+34x_5+42x_6+50x_7+58x_8\simeq90\\
3x_1+11x_2+19x_3+27x_4+35x_5+43x_6+51x_7+59x_8\simeq91\\
4x_1+12x_2+20x_3+28x_4+36x_5+44x_6+52x_7+60x_8\simeq92\\
5x_1+13x_2+21x_3+29x_4+37x_5+45x_6+53x_7+61x_8\simeq93\\
6x_1+14x_2+22x_3+30x_4+38x_5+46x_6+54x_7+62x_8\simeq94\\
7x_1+15x_2+23x_3+31x_4+39x_5+47x_6+55x_7+63x_8\simeq95\\
8x_1+16x_2+24x_3+32x_4+40x_5+48x_6+56x_7+64x_8\simeq96\\
9x_1+17x_2+25x_3+33x_4+41x_5+49x_6+57x_7+65x_8\simeq97
\end{cases} \)
2x_1+10x_2+18x_3+26x_4+34x_5+42x_6+50x_7+58x_8\simeq90\\
3x_1+11x_2+19x_3+27x_4+35x_5+43x_6+51x_7+59x_8\simeq91\\
4x_1+12x_2+20x_3+28x_4+36x_5+44x_6+52x_7+60x_8\simeq92\\
5x_1+13x_2+21x_3+29x_4+37x_5+45x_6+53x_7+61x_8\simeq93\\
6x_1+14x_2+22x_3+30x_4+38x_5+46x_6+54x_7+62x_8\simeq94\\
7x_1+15x_2+23x_3+31x_4+39x_5+47x_6+55x_7+63x_8\simeq95\\
8x_1+16x_2+24x_3+32x_4+40x_5+48x_6+56x_7+64x_8\simeq96\\
9x_1+17x_2+25x_3+33x_4+41x_5+49x_6+57x_7+65x_8\simeq97
\end{cases} \)
Il sistema non ha soluzione se considero ogni linea come un'equazione. Il motivo è proprio il fatto che i termini noti sono arrotondati all'intero più vicino (quindi, ad esempio, la prima equazione potrebbe avere un termine noto pari a 89,734 oppure pari a 90,333).
Ogni singola equazione di questo sistema, quindi, dovrebbe essere considerata a rigor di logica come un "mini-sistema" di 2 disequazioni a 8 incognite di questo tipo (prendo ad esempio la prima equazione del sistema):
\(\displaystyle \begin{cases}
2x_1+10x_2+18x_3+26x_4+34x_5+42x_6+50x_7+58x_8\geq89,5\\
2x_1+10x_2+18x_3+26x_4+34x_5+42x_6+50x_7+58x_8<90,5\\
\end{cases} \)
2x_1+10x_2+18x_3+26x_4+34x_5+42x_6+50x_7+58x_8\geq89,5\\
2x_1+10x_2+18x_3+26x_4+34x_5+42x_6+50x_7+58x_8<90,5\\
\end{cases} \)
Questo produce il raddoppiamento delle dimensioni del sistema, che sostanzialmente diventa un sistema di 16 disequazioni lineari in 8 incognite.
Come risolvo sistemi di questo tipo? Grazie mille.