Come è effettivamente definita la molteplicità di intersezione di curve algebriche?
Il mio dubbio è abbastanza generale.
Supponendo di avere $F(x, y, z) = 0$ e $G(x, y, z) = 0$ curve algebriche in $RR$ con $F$ e $G$ polinomi di un certo grado.
La definizione di molteplicità di intersezione che mi è stata data di un punto $P$ è $m$ se $P$ è soluzione del sistema
$\{(F(x, y, z)=0),(G(x,y,z)=0):}$
e $m$ la molteplicità algebrica della soluzione.
Mi sembra una definizione circolare. O meglio non mi è chiarissimo cosa significhi che un certo punto è soluzione con una certa molteplicità di un sistema. Ad esempio mi è chiaro che $0$ ha molteplicità algebrica 2 in $x^2=0$ (e in generale per i polinomi: mi basta fattorizzare in termini lineari e il numero di termini con una certa radice mi dice la molteplicità di quella radice). Non mi è completamente chiaro invece come mai il punto $(0, 0)$ abbia molteplicità 2 nel sistema
$\{(x^2=0),(y=0):}$
Tranne forse per il fatto che è l'intersezione di una parabola e di una retta tangente al vertice. Ma anche qui mi sembra un cane che si morde la coda e né su internet né sul mio libro ho trovato una definizione che mi soddisfacesse.
Qualcuno mi sa aiutare?