Potreste guidarmi nella risoluzione di questo esercizio?
Sia fissato in $E_3(\RR)$ il riferimento cartesiano standard $R(O,B)$.
Si considerino le rette
$r:{(x-2y+1=0),(y-z=0):}$ e $s:{(x+1=0),(y=0):}$
Determinare le rette parallele a $r$, incidenti a $s$ e aventi distanza $sqrt(2)/2$ dall'origine.
Ho impostato il problema così:
Condizione affinché una generica retta $h$ dello spazio, sia parallela a $r$, è che abbia gli stessi parametri direttori. I parametri di $r$ sono $(l_r,m_r,n_r)=(2,1,1)$. Quindi ottengo il fascio improprio di rette $h:{(x-x_P=2t),(y-y_P=t),(z-z_P=t):}$
Condizione affinché $h$ e $s$ siano incidenti, è che il rango della matrice formata dai parametri direttori di $s$, che risultano essere $(l_s,m_s,n_s)=(0,0,1)$, e da quelli di $h$ (uguali a $r$), sia $2$.
Chiaramente tutte le rette del fascio improprio saranno incidenti a $s$
Per costruire la condizione sulla distanza dall'origine, mi sono mosso così. Ho trovato il piano passante per l'origine $\alpha:a(x-0)+b(y-0)+c(z-0)=0$ e ortogonale a $h$, che risulterà essere $\alpha: 2x+y+z=0$ dato che $\alpha _|_ h \hArr (l_h,m_h,n_h)=(a,b,c)$.
Ora dovrei calcolarmi $\alpha \cap h$ per trovarmi le proiezioni ortogonali di $O(0,0)$ sul fascio di rette $h$ e quindi imporre che la distanza $d(O_h,O)$ sia uguale a $sqrt(2)/2$.
Ho trasformato l'equazione del piano in forma parametrica ottenendo:
$\alpha: {(x=s),(y=t),(z=-2s-t):}$
e ho messo a sistema le equazioni
$alpha \cap h: {(x-x_P=2t),(y-y_P=t),(z-z_P=t),(x=s),(y=t),(z=-2s-t):}={(x_P=x-2t),(y_P=y-t),(z_P=z-t),(t=-2s-z):}={(x_p=s-2(-2s-z)),(y_P=0),(z_P=z-(-2s-z)):}={(x_P=5s+2z),(y_P=0),(z_P=2s+2z):}$
trovando che l'insieme delle soluzioni è ${(5s+2z,0,2s+2z)|s,z \in \RR}=<(5,0,2),(2,0,2)>$.
Perché non trovo una retta di soluzioni ma un piano? Ho sbagliato qualcosa? C'è un'altra via risolutiva?
Vi ringrazio in anticipo per il vostro tempo.