Identificazione tangent bundle su spazio base affine

[cianfa72]

Ciao,
ho un dubbio sulla nozione di tangent bundle \(\displaystyle \tau(E) \) in cui lo spazio base \(\displaystyle E \) ha struttura di spazio affine.

Lo spazio vettoriale tangente ad ogni punto dello spazio base (lo spazio affine \(\displaystyle E \)) si identifica naturalmente/canonicamente con lo spazio vettoriale delle traslazioni \(\displaystyle V \) che entra nella definizione di spazio affine \(\displaystyle (E,V) \).

Da quanto posso capire tale isomorfismo canonico tra spazi vettoriali consente di identificare il tangent bundle \(\displaystyle \tau(E) \) con il product bundle \(\displaystyle E \times V \).

E' corretto ? grazie.

[megas_archon]

L'isomorfismo non è canonico, ma sì, circa. Una dimostrazione è fatta qui, esempio 2.6.

[cianfa72]

L'isomorfismo non è canonico, ma sì, circa. Una dimostrazione è fatta qui, esempio 2.6.

A quale isomorfismo ti riferisci ? Che intendi con si, circa...Direttamente dal link che hai postato:

Therefore it makes sense to canonically identify all the tangent spaces of Euclidean space with that Euclidean space itself.

[megas_archon]

Purtroppo anche i categoristi di questi tempi usano la parola "canonico" a muzzo a volte.

"Canonico" significa che l'isomorfismo è la componente di una trasformazione naturale. La costruzione che fai per identificare \(\mathbb R^n\) con \(T_xM\) usa una base, un sistema di carte,... qualcosa che dipende da una scelta che non è un punto di uno spazio contraibile.

[cianfa72]

La costruzione che fai per identificare \(\mathbb R^n\) con \(T_xM\) usa una base, un sistema di carte,... qualcosa che dipende da una scelta che non è un punto di uno spazio contraibile.

Scusami ma questo e' un caso particolare: lo spazio base e' uno spazio affine per cui esiste uno spazio vettoriale \(\displaystyle V \) (quello della definizione di struttura di spazio affine) con cui identificare ciascun \(\displaystyle T_xM \).

[megas_archon]

Appunto, esiste, ma in che modo identificarlo? Ci sono tante basi in uno spazio vettoriale...

[cianfa72]

Appunto, esiste, ma in che modo identificarlo? Ci sono tante basi in uno spazio vettoriale...

Secondo me si puo' ragionare come per es nel libro "Introduction to smooth manifolds" - John Lee. Nel cap 3 definisce il "geometric tangent space" \(\displaystyle \mathbb R_a^n \) in un punto \(\displaystyle a \) di \(\displaystyle \mathbb R^n \) inteso quest'ultimo come spazio Euclideo (e quindi affine).

Segue poi la definizione delle derivate direzionali e piu' in generale delle derivazioni (nozioni indipendenti dalla scelta di una carta).

A partire da questo Lee definisce una linear map (isomorfismo) tra il geometric tangent space \(\displaystyle \mathbb R_a^n \) e lo spazio vettoriale delle derivazioni nel punto \(\displaystyle a \) dello spazio base \(\displaystyle \mathbb R^n \):

\(\displaystyle D_v|_a f = D_vf(a) = \left . \frac {d} {dt} \right |_{t=0} f(a + tv) \)

Ora in questa definizione non interviene alcuna base (notare che \(\displaystyle v \) e' un vettore e la somma punto + vettore e' ben definita dalla struttura di spazio affine) e quindi il l'isomorfismo \(\displaystyle v_a \mapsto D_v|_a \) e' canonico/naturale.

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