Decomposizione Polare

[Picrill]

Nota: Il seguente esercizio è da risolvere senza usare il teorema di decomposizione ai valori singolari.

Testo: Sia $A$ un operatore su uno spazio vettoriale complesso a dimensione finita. Dimostrare che esistono unici $P$ e $U$ tali che $P \geq 0$, $U$ è unitario e $A = UP$. (Hint: considerare $P = \sqrt{A^C A}$, dove $A^C$ è l'operatore aggiunto di $A$ [non sapevo come indicarlo]).

Quello che son riuscito a fare: siccome $A^C A \geq 0$, allora esiste una sola radice $P = \sqrt{A^C A}$ tale che $P \geq 0$. Per ogni $y$ nell'immagine di $P$ tale che $y = Px$ definisco $Uy = Ax$. Ottengo:

$ ||y||^2 = < y, y > = < Px, Px > = < P^C Px,x > = < A^C Ax,x > = < Ax , Ax > = < Uy, Uy > = ||Uy||^2 $

Quindi $U$ è un isometria ed è unitario. A voi: come posso estendere a tutto lo spazio??

Grazie per l'aiuto

[dissonance]

Più tardi ci penso più approfonditamente, ma adesso segnalo una conseguenza intuitiva di questo risultato che mi pare molto carina.

Ho letto che c'è chi pensa agli operatori normali come fossero numeri complessi, con gli operatori unitari a formare la circonferenza unitaria e gli operatori definiti a formare la retta reale. Questo risultato estende questa analogia: come ogni numero complesso $z$ si scrive anche $rho*e^(itheta)$, dove $rho$ è sulla semiretta reale positiva e $e^(itheta)$ è sulla circonferenza unitaria, anche ogni operatore segue la stessa sorte.

Non mi torna solo una cosa. Sei sicuro che nelle ipotesi non ci sia il fatto che $A$ è normale?

[Picrill]

Più tardi ci penso più approfonditamente, ma adesso segnalo una conseguenza intuitiva di questo risultato che mi pare molto carina.

Ho letto che c'è chi pensa agli operatori normali come fossero numeri complessi, con gli operatori unitari a formare la circonferenza unitaria e gli operatori definiti a formare la retta reale. Questo risultato estende questa analogia: come ogni numero complesso $z$ si scrive anche $rho*e^(itheta)$, dove $rho$ è sulla semiretta reale positiva e $e^(itheta)$ è sulla circonferenza unitaria, anche ogni operatore segue la stessa sorte.

Non mi torna solo una cosa. Sei sicuro che nelle ipotesi non ci sia il fatto che $A$ è normale?

Esattamente come hai detto tu questo risultato (decomposizione polare per operatori) è una naturale "estensione" della più nota decomposizione polare per numeri complessi. Wikipedia accenna alla versione per matrici: http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_decomposition ma il discorso per gli operatori è analogo. Come puoi vedere non è necessario assumere che $A$ sia normale, infatti usando la decomposione ai valori singolari si arriva al risultato piuttosto facilmente. C'è un'idea della dimostrazione sempre lì su Wikipedia.

[dissonance]

Fammi capire una cosa (non so se potrò esserti di grande aiuto, non sono molto esperto in questo campo, ma ci provo):
tu hai definito un operatore unitario, ma non su tutto lo spazio, solo sull'immagine di $P$: E quindi, se $A$ è invertibile, hai finito. O mi sbaglio?

[Picrill]

Fammi capire una cosa (non so se potrò esserti di grande aiuto, non sono molto esperto in questo campo, ma ci provo):
tu hai definito un operatore unitario, ma non su tutto lo spazio, solo sull'immagine di $P$: E quindi, se $A$ è invertibile, hai finito. O mi sbaglio?

Giusto, se $A$ è invertibile ho finito. Se $A$ non è invertibile $U$ è solo un'isometria parziale per come lo ho definito sopra.