Premetto due risultati (chi volesse divertisi un pò puo dimostrarli)
i) Let $f:A \rightarrow B$ e $g:C \rightarrow D$ be continuous functions. The function $(f xx g):(a,c) \in A xx C \rightarrow (f(a),g(c)) \in B xx D$ is continuous.
ii) Let $Y$ be compact. The projection $\pi: X xx Y \rightarrow X$ is a closed map. [Hint:
Tube Lemma ]
Sono alle prese con questo
14) Let $f:X \rightarrow Y$ ; let $Y$ be compact Hausdorff.Then $f$ is continuous if and only if the graph $G_f = {x xx f(x) | x \in X}$ is closed in $X xx Y$ .
Supponiamo $f$ continua. Sia $id:Y \rightarrow Y$ la mappa identica su $Y$. Per il risultato
i) la funzione $(f xx id): X xx Y \rightarrow Y^2$ è continua. Siccome $Y$ è Hausdorff la diagonale $diagY={y xx y | y \in Y}$ è chiusa (vedi esercizio $2$ pag 1 di questo topic) e tale è la sua controimmagine $(f xx id)^{-1}(diagY)=\bigcup_{y \in Y} (f^{-1}(y) xx y) = G_f$
Viceversa sia $G_f$ chiuso. Consideriamo un intorno $V$ di $f(x)$, allora $G_{f} \cap (X xx (Y-V))$ è chiuso in $X xx Y$. Poichè $Y$ è compatto tale è anche $(Y-V)$ e la sua intersezione con $G_f$. Allora usando il risultato
ii) la proiezione $\pi (G_{f} \cap (X xx (Y-V)))=f^{-1}(Y-V)$ è chiusa in $X$. Pertanto il suo complemento $f^{-1}(V)$ è aperto, quindi $f$ è continua.
Non sono molto convinto, voi che dite?