12) Let $X$ denote th rational points of the interval $[0,1] xx 0$ of $R^2$. Let $T$ denote the union of all line segments joining the point $p=0 xx 1$ to poins of $X$. Show that $T$ is path connected, but is locally connected only at the point $p$.
Ecco un disegnino xD
Ognuno dei segmenti che formano $T$ giace su una retta del tipo $y=mx+1$ con coefficiente razionale $m<0$.
Lo spazio $T$ è path connected perchè presi comunque due punti possiamo costruire un percorso passando per il punto $p$ (la linea rossa nella figura). Formalizziamo: presi due punti $p_1=(x_1,m_1x_1+1)$ e $p_2=(x_2,m_2x_2+1)$ costruiamo un arco tra $p_1$ e $p$ così
$f:t \in [0,1] \rightarrow (x_1(1-t),m_1x_1(1-t)+1) \in T $
e poi un arco fra $p$ e $p_2$
$g:t \in [1,2] \rightarrow (x_2(t-1),m_2x_2(t-1)+1) \in T $
Notare che $f(1)=p=g(1)$, quindi incolliamo $f$ e $g$ ottenendo un arco fra $p_1$ e $p_2$
Un generico aperto di $T$ è l'intersezione fra un rettangolo aperto di $R^2$ e $T$ (i segmenti verdi in figura). Se il rettangolo contiene il punto $p=0 xx 1$ allora la sua intersezione con $T$ è connessa per archi (per il ragionamneto fatto prima). Se invece non contiene $p$, possiamo disconnettere il rettangolo usando una retta col coefficiente $m$ irrazionale (linea marrone tratteggiata in figura). Formalizzando: sia $(a,b) xx (c,d)$ il rettangolo in figura (con $0<a,b,c,d<1$). La retta passante per $p$ ed il vertice $a xx c$ è $y = {c-1}/a x + 1$ , quella per $p$ e $b xx c$ è $y = {c-1}/b x + 1$. Basta scegliere $m$ irrazionale tale che ${c-1}/a < m < {c-1}/b$ e la retta $y=mx+1$ sconnette l'aperto $((a,b) xx (c,d)) \cap T $ di $T$. Pertanto $p$ è l'unico punto locally connected
Grazie a chi vorrà commentare ed eventualmente bastonarmi.