da perplesso » 11/04/2012, 19:25
7) Consider the product, box and uniform topology on $R^\omega$. In which topologies the following functions are continuous?
$f(t) = (t,2t,3t,....)$
$g(t) = (t,t,t,....)$
$h(t) = (t,t/2,t/3,....)$
Nella product topology sono tutte e tre continue perchè è continua ognuna delle componenti della funzione (sono tutte rette). Nella box topology sono tutte discontinue infatti:
Indichiamo con $f_n(x)$ l' ennesima componente dell'immagine $f(x)$ Consideriamo l'intorno del punto $f(0)=(0,0,0,...)$ così definito $(-1,1) xx (-1,1) xx .... $ Proviamo che non esiste nessun intorno $(-\epsilon,\epsilon)$ del punto $0$ tale che $f(-\epsilon,\epsilon) \subset (-1,1) xx (-1,1) xx ....$ Infatti dovrebbe risultare $f_n(-\epsilon, \epsilon)=(-n \epsilon, n \epsilon) \subset (-1,1)$ per ogni $n$ cioè $\epsilon = 0$
Per $g$ ragioniamo analogamente scegliendo l'intorno del punto $f(0)$ definito da $(-1,1) xx (-1/2,1/2) xx ... xx (-1/n,1/n) xx... $ Quindi $g_n(-\epsilon,\epsilon)=(\epsilon, \epsilon) \subset (-1/n,1/n)$ per ogni $n$ da cui segue $\epsilon = 0$
Per $h$ invece scegliamo l'intorno del punto $f(0)$ definito da $(-1,1) xx (-1/4,1/4) xx ... xx (-1/{n^2},1/{n^2}) xx... $ Quindi $h_n(-\epsilon,\epsilon)=( - \epsilon/n, \epsilon/n) \subset (-1/{n^2},1/{n^2})$ cioè $\epsilon/n < 1/{n^2}$ ovvero $\epsilon < 1/n$ per ogni n quindi $\epsilon = 0$
Nella topologia uniforme $f$ non è continua perchè posso portare un esempio simile a quello della box topology scegliendo l'intorno di $(0,0,0,...)$ fatto così $U(f(0),1/2) = (-1/2,1/2) xx (-1/2,1/2) xx .... $ Come prima faccio vedere che non esiste alcun intorno di $0$ la cui immagine sia inclusa in $U(f(0),1/2)$ e a maggior ragione non è inclusa in $B(f(0),1/2) \subset U(f(0),1/2)$ (vedi esercizio 6).
$g$ e $h$ suppongo siano continue ma non ne sono sicuro...