Prima di farti notare che il limite da studiare è:\[\lim_n\sup_X\,\,\,\text{una qualche successione}\] e non:\[\lim_n\,\,\,\text{una qualche altra successione}\] quella che hai scritto è una dimostrazione errata della sequenziale continuità delle funzioni continue a valori in \(\mathbb{R}\)! (O almeno così mi pare, ma non è importante.)
Il mio suggerimento è questo:\[\lim_n\sup_X\{f(x)-f_n(x)\in\mathbb{R}_+\}=l>0\] ma mi sa che è un po troppo complicato!
A questo punto imbroglio e ti suggerisco quest'altra via: fissato \(\epsilon>0\) siano:\[\forall n\in\mathbb{N},\,\Omega_n^{\epsilon}=\{x\in X\mid f_n(x)>f(x)-\epsilon\}.\]
Cosa puoi dire sulla successione degli insiemi \(\Omega_n^{\epsilon}\)? Dimostra che sono insiemi aperti, utilizzi la compattezza di \(X\) ed ottieni l'asserto.
Ah! Dimenticavo, quello che vuoi dimostrare è noto come Lemma di Dini in \(C(X;\mathbb{R})\) con \(X\) spazio topologico compatto.