[Meccanica delle macchine]

[italia97]

Salve, devo svolgere questo esercizio:

Il diagramma è una vista schematica dall'alto di una lavatrice di cui si vuole studiare il moto in direzione x. Nella centrifuga il cestello tondo di raggio R e massa m1 ruota a una velocità angolare \Omega e si può considerare che i capi siano ripiegati in una palla di massa m2, il cui baricentro è situato a distanza r dal blocco dell'asse di rotazione del tamburo.
La massa statorica è M3 e gli smorzatori sono in direzione x. La frequenza naturale è di 5 Hz e il fattore di smorzamento è pari a 0,1.
Determinare:
- equazione del moto?
- la più piccola ampiezza di stato stazionario che può essere ottenuta se il sistema viene fatto funzionare al di sopra della risonanza?
- l'ampiezza massima di x che si può verificare e la velocità di rotazione che si verifica?







Per prima cosa ho trovato la forza centrifuga pari a:
Fc= (m1+m2)*/omega^2*r

Ho proiettato tale vettore lungo l'asse del moto, considerando quindi come vettore rotante per poi determinare la FRF.
Molle e smorzatori l'ho considerati entrambi in parallelo.
L'equazione del moto è:
$ (m1+m2+M3)(partial^2 x)/(partial t^2) +2c (partial x)/(partial t) + 2k x = Parte Re[(m1+m2)omega ^2 r *e^(iomegat) $

2 - la più piccola ampiezza l'ho trovata semplicemente considerando un valore di /omega molto grande in modo da essere sicuro a regime. (devo considerare anche il fattore di smorzamento pari a 0,707?)

3 - l'ampiezza massima l'ho trovata derivando e ponendo pari a 0 la FRF mentre la velocità, derivando la x.

Ho sbagliato qualcosa nel mio svolgimento?

[ingres]

Ciao italia97

Sono perplesso su come hai considerato m1. In pratica se la lavatrice fosse a vuoto ovvero m2=0 e quindi r indefinito o nullo, quale sarebbe il valore di Fc?

Inoltre è stato anche assegnato il raggio R del cestello, che non è stato usato nell'equazione. Questo fatto non è risolutivo, perchè non è detto che per forza si debbano usare tutti i dati, ma comunque è sospetto.

[italia97]

Ho capito l'errore commesso, credo.
Dovrei considerare due corpi separati perchè in effetti se la lavatrice fosse vuota, avrei comunque la Fc del cestello.
Quindi sarebbe:
$ Fc= Re[m1*R*omega^2*e^(iomegat)]+Re[m2*r*omega^2*e^(iomegat)] $

Dovrebbe essere così?
Grazie mille per la disponibilità!

[ingres]

SI sicuramente più corretto.
In realtà se non so come considerare distribuita la massa m1, ma, anche estrapolando quello che dice il testo, in prima approssimazione ha senso pensare che sia soprattutto concentrata nel cestello esterno e che quindi valga la formula scritta, che ovviamente puoi riscrivere come:

$F_c= Re((m_1*R+m_2*r)*omega^2*e^(i omega t))$

poco differente da quella che avevi già scritto inizialmente. A questo punto a mio giudizio

1) OK con la correzione sopra (togli però il simbolo di derivata parziale: sono normali derivate)

2) OK, dopo la frequenza di risonanza il modulo della risposta in frequenza dovrebbe avere un grafico decrescente tendendo al valore limite:
$X_(lim) = (m_1*R+m_2*r)/(m_1+m_2+M_3)$
che immagino sia quello da te calcolato.
Nota: Per $omega$ abbastanza grande lo smorzatore non fornisce contributo apprezzabile

3) Va bene trovare l'ampiezza massima derivando il modulo della risposta in frequenza. Il valore di $omega$ così determinato rappresenta la velocità di rotazione richiesta mentre il valore del modulo per per tale velocità è l'ampiezza richiesta.
Come controprova dovrebbe risultare che valore massimo di ampiezza si ha per una frequenza molto prossima alla frequenza naturale del sistema

Fammi poi sapere se è andato tutto bene