[Scienza delle costruzioni]: ancora travature 3D, chiarimenti sul segno di una coppia

Messaggioda fede_1_1 » 21/12/2023, 21:29

Salve! Avevo già fatto un post su un sistema 3D, oggi però ne ho trovato un altro che mi ha fatto sorgere un dubbio. Riporto l'immagine (le parti rosse le ho fatto io, non sono linee del testo):

Immagine

Il dubbio era: quella coppia $4PL$ è equivalente al vettore momento che ho disegnato là a fianco in rosso? La notazione con la freccia che ruota mi ha un po' confuso, è un momento concorde o discorde all'asse $y$?

I motivi per cui l'ho inserita proprio così sono 2: la freccia ruota attorno all'asse $y$, quindi ho supposto fosse un vettor momento giacente lungo $y$. Inoltre dato senso orario l'ho posto discorde all'asse, pensando che per convenzione il verso orario implicasse ciò.

Grazie per aver letto!! :]
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Re: [Scienza delle costruzioni]: ancora travature 3D, chiarimenti sul segno di una coppia

Messaggioda sellacollesella » 21/12/2023, 21:52

Come hai ben pensato, la prima cosa è fissare un sistema di riferimento globale. D'altro canto, se la scelta dell'origine è ottimale, quella del verso degli assi non lo è, dato che quel sistema di riferimento è sinistrorso, ossia cozza con la regola della mano destra. Sapresti sistemarlo? Al di là di ciò, la coppia di intensità \(4PL\) rappresentata con quel cappio equivale alla freccia rossa che hai disegnato, nel primo caso si mette enfasi sulle dita che arricciano, nel secondo si mette enfasi su direzione e verso del pollice. A differenza delle forze concentrate, andrà computata solo nelle equazioni di equilibrio alla rotazione.
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Re: [Scienza delle costruzioni]: ancora travature 3D, chiarimenti sul segno di una coppia

Messaggioda fede_1_1 » 21/12/2023, 22:10

Buonasera! :D Ah giusto, è sinistrorso! Lo fixerei "girando" l'asse $y$, ossia ponendo la sua punta nel verso opposto a quello in figura.

Tra l'altro, dopo un po' di conti che adesso ometto (ma magari domani mattina scrivo e li elaboro con calma!), dovrebbe uscir fuori che la sezione $A$ è sottoposta ad uno sforzo di taglio di intensità $P$ diretto lungo l'asse $z$. Per computare le verifiche di resistenza con il metodo di Von-Mises oppure Tresca devo individuare l'eventuale tensione normale e la tensione tangenziale data proprio dallo sforzo di taglio.

Ecco, devo valutare sia la $\tau_{zy}$ che quella $\tau_{zx}$?

Grazie ancora per l'attenzione!!
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Re: [Scienza delle costruzioni]: ancora travature 3D, chiarimenti sul segno di una coppia

Messaggioda sellacollesella » 22/12/2023, 08:51

fede_1_1 ha scritto:Buonasera! :D

Buongiorno ormai... :-D

fede_1_1 ha scritto:Lo fixerei "girando" l'asse $ y $, ossia ponendo la sua punta nel verso opposto a quello in figura.

Ok.

fede_1_1 ha scritto:Tra l'altro, dopo un po' di conti che adesso ometto, dovrebbe uscir fuori che la sezione $ A $ è sottoposta ad uno sforzo di taglio di intensità $ P $ diretto lungo l'asse $ z $.

Sì, verso il semiasse z negativo.

fede_1_1 ha scritto:Per computare le verifiche di resistenza con il metodo di Von-Mises oppure Tresca [...] devo valutare sia la $ \tau_{zy} $ che quella $ \tau_{zx} $?

Cerco di sintetizzarti il quadro concettuale inerente questo argomento.

Il criterio di resistenza di Huber-Hencky-Von Mises è sostanzialmente lo standard nelle normative europee circa le verifiche di resistenza per materiali duttili, che scritto per tensioni non principali assume la forma: \[
\sigma_{id,VM} := \sqrt{\left(\sigma_x^2+\sigma_y^2+\sigma_z^2\right) - \left(\sigma_x\sigma_y+\sigma_x\sigma_z+\sigma_y\sigma_z\right)+3\left(\tau_{xy}^2+\tau_{xz}^2+\tau_{yz}^2\right)} \le \sigma_{\text{adm}}.
\] Se ora limitiamo il nostro campo d'azione alla teoria tecnica della trave dovuta agli studi del Saint-Venant: \[
\sigma_{id,VM} = \sqrt{\sigma_z^2 + 3\left(\tau_{zx}^2+\tau_{zy}^2\right)} = \sqrt{\sigma_z^2 + 3\tau_{zs}^2}
\] formulazione che si riferisce ad un sistema di riferimento locale centrale d'inerzia (qui tracciato in blu). Se poi, al posto di quel \(3\) ci metti un \(4\) ottieni la tensione ideale di Guest-Tresca, che è un po' più cautelativa.

Nello specifico, se da un lato la tensione normale è facilmente determinabile: \[
\sigma_z = \frac{N}{A} + \frac{M_x}{J_x}y - \frac{M_y}{J_y}x,
\] dall'altro lato le due tensioni tangenziali, dipendenti da \(T_x\), \(T_y\) e \(M_z\), in generale sono determinabili previa risoluzione numerica di un problema di Neumann, pertanto fattibile solo con l'ausilio di un buon calcolatore.

D'altro canto, trattandosi di una sezione doppiamente simmetrica, il centro di taglio coincide con il baricentro, per cui \(T_x\) e \(T_y\) non danno alcun contributo torsionale, bensì solo tagliante approssimabile alla Jourawsky: \[
\tau_{zs} = \frac{T_x}{J_y}\frac{S_y^*(s)}{b(s)} + \frac{T_y}{J_x}\frac{S_x^*(s)}{b(s)}.
\] Inoltre, essendo una sezione chiusa in parete sottile, i contributi torsionali sono approssimabili alla Bredt: \[
\tau_{zs} = \frac{M_z}{2\,A^*b(s)}
\] con \(A^*\) l'area della regione racchiusa dalla linea media della sezione retta, \(b\) lo spessore della stessa.

Pertanto, nella pratica, una volta determinati i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione interna ad ogni tratto della struttura si individuano le sezioni maggiormente sollecitate (nel dubbio basta analizzarne più d'una, non è sempre immediato individuare la più stressata senza ulteriori indagini). Quindi, internamente a tali sezioni si andranno ad applicare le suddette formulazioni individuando a sua volta i punti della sezione maggiormente sollecitati e in quelli andrà applicato il suddetto criterio di resistenza sperando sia verificato.
Ultima modifica di sellacollesella il 23/12/2023, 14:34, modificato 2 volte in totale.
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Re: [Scienza delle costruzioni]: ancora travature 3D, chiarimenti sul segno di una coppia

Messaggioda fede_1_1 » 22/12/2023, 12:18

Perfettissimo!! :] Vediamo un po' se ciò che ho pensato ha senso. Intanto mi calcolo le reazioni vincolari e le caratteristiche su ogni tratto. Per me la difficoltà qua risiede nell'azzeccare il sistema di riferimento locale per le sollecitazioni. Li riporto di seguito in figura:

Immagine

Bene, per le reazioni vincolari:
\[
F_x=F_y=0; \: \: \: \: F_z=-P; \: \: \: \: M_x=M_z=0; \: \: \: M_y=4PL-4PL=0
\]

Passando alle caratteristiche per il tratto $A \to B$, con $0 \leq s \leq 4L$:
\[
\begin{cases}
N=0 \\ T_1=0 \\ T_2=-P \\ M_t=0 \\ M_1=-sP \\ M_2=0
\end{cases}
\]
Tratto $C \to B$, con $0\leq s \leq 2L$:
\[
\begin{cases}
N=0 \\ T_1=0 \\ T_2=0 \\ M_1=0 \\ M_t=4PL \\ M_2=0
\end{cases}
\]
Tratto $D \to C$, con $0\leq s \leq 2L$:
\[
\begin{cases}
N=0 \\ T_1=0 \\ T_2=0 \\ M_1=-4PL \\ M_2=0 \\ M_t=0
\end{cases}
\]
Prima di tutto adesso calcolo il momento di inerzia $J_x$ applicando il teorema di trasposizione:
\[ J_x=\frac{6*216^3}{12}+ \frac{6*216^3}{12}+12*120*(216/2+12/2)^2+12*120*(216/2+12/2)^2=47506176 \: mm^4 \]
Passando ai criteri di resistenza, nella sezione $A$ agisce solo sforzo di taglio $T=-P$, quindi c'è solo tensione tangenziale $\tau_{zy}$. Calcolando gli andamenti con la Formula di Jourawsky mi sono risultati parabolici lungo l'asse $x_2$ come in figura:

Immagine

Dove $\tau_{max}=\frac{P}{J_x \cdot 6}(-6*(108)^2+1296*(108)+164160)=8.214$
Quindi per Von-Mises $\sigma_{id}=\sqrt{0^2+3*\tau_{max}^2}=14.22<\sigma_{lim}$.

Nella sezione $M$ si ha solo momento torsionale $M_t=4PL$, come prima quindi le tensioni normali $\sigma_{zz}$ sono nulle. Calcoliamo le tensioni tangenziali. In quali punti? Dalla formula di Bredt vediamo che le tensioni tangenziali sono più alte nelle porzioni con spessore minore. Quindi essenzialmente si calcolano nelle sezioni ai lati dove $s=6 mm$.

\[\Omega=(120-2*6/2)*(240-12/2)=26676 mm^2\]
\[ \tau_{zy}=\frac{4PL}{2*\Omega*6}=249.9 N/mm^2. \]
Quindi $\sigma_{id}=\sqrt{0^2+3*(249.9)^2} > \sigma_{lim}$. E la sezione $M$ non regge.

Può andare? :shock:

Grazie per aver letto fin qua! :]
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Re: [Scienza delle costruzioni]: ancora travature 3D, chiarimenti sul segno di una coppia

Messaggioda sellacollesella » 23/12/2023, 11:03

Data la seguente struttura isostatica:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)Immagine

al solito, la svincoliamo e introduciamo le rispettive reazioni vincolari:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\;\,\)Immagine

quindi, imponiamo l'equilibrio sia alla traslazione che alla rotazione rispetto ai tre assi cartesiani: \[
\begin{cases}
F_x = 0 \\
F_y = 0 \\
F_z+P = 0 \\
M_x = 0 \\
M_y-P(4L)+4PL = 0 \\
M_z = 0 \\
\end{cases}
\quad \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \quad
\begin{cases}
F_x = 0 \\
F_y = 0 \\
F_z = -P \\
M_x = 0 \\
M_y = 0 \\
M_z = 0 \\
\end{cases}.
\] Ciò fatto, tagliamo la travatura nelle seguenti tre sezioni rette:

\(\quad\quad\;\)Immagine

e imponendo i rispettivi equilibri otteniamo le caratteristiche della sollecitazione interna: \[
\begin{aligned}
& \begin{cases}
T_{AB,x}(s) = 0 \\
T_{AB,y}(s) = -P \\
N_{AB}(s)= 0 \\
M_{AB,x}(s) = -Ps \\
M_{AB,y}(s) = 0 \\
M_{AB,z}(s) = 0 \\
\end{cases}
\quad \text{con} \; 0 \le s \le 4L\,; \\
\\
& \begin{cases}
T_{CB,x}(s) = 0 \\
T_{CB,y}(s) = 0 \\
N_{CB}(s)= 0 \\
M_{CB,x}(s) = 0 \\
M_{CB,y}(s) = 0 \\
M_{CB,z}(s) = 4PL \\
\end{cases}
\quad \text{con} \; 0 \le s \le 2L\,; \\
\\
& \begin{cases}
T_{DC,x}(s) = 0 \\
T_{DC,y}(s) = 0 \\
N_{DC}(s)= 0 \\
M_{DC,x}(s) = -4PL \\
M_{DC,y}(s) = 0 \\
M_{DC,z}(s) = 0 \\
\end{cases}
\quad \text{con} \; 0 \le s \le 2L\,. \\
\end{aligned}
\] Pertanto, tenendo conto che le sezioni rette di tale travatura sono del tipo:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)Immagine

dove il sistema di riferimento centrale d'inerzia è banalmente individuato per simmetria e: \[
J_x = 2\left[\frac{b(2s)^3}{12}+(2\,b\,s)\left(\frac{h}{2}\right)^2+\frac{s\,h^3}{12}+(h\,s)(0)^2\right] = 4.74\cdot 10^7\,mm^4
\] nella sezione retta \(A\) calcoliamo le tensioni tangenziali a taglio applicando la formula di Jourawsky: \[
\begin{aligned}
& \tau_{AB}(\xi) = \frac{T_y}{J_x}\,\frac{-(2\,s\,\xi)(h/2)}{2\,s} = 0.0240292\,\xi\,; \\
& \tau_{BC}(\xi) = \frac{T_y}{J_x}\,\frac{-(2\,s\,b/2)(h/2)-(s\,\xi)(h/2-\xi/2)}{s} = 2.73933 + 0.0240292\,\xi - 0.000105391\,\xi^2; \\
\end{aligned}
\] che diagrammate tenendo conto delle proprietà simmetriche di cui gode la sezione portano a:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)Immagine

Quindi, la tensione ideale secondo Von Mises nel punto più sollecitato risulta pari a: \[
\sigma_{id,VM} = \sqrt{3}\left|\tau_{zy,G}\right| = 7.12\,MPa
\] che essendo minore della tensione ammissibile \(\sigma_{\text{adm}}=240\,MPa\), la verifica è soddisfatta.

D'altro canto, in una generica sezione di \(CB\), calcolate le tensioni tangenziali a torsione alla Bredt:

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)Immagine

la tensione ideale secondo Von Mises nel punto più sollecitato risulta pari a: \[
\sigma_{id,VM} = \sqrt{3}\left|\tau_{zy,G}\right| = 444\,MPa
\] che essendo maggiore della tensione ammissibile \(\sigma_{\text{adm}}=240\,MPa\), la verifica non è soddisfatta.
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Re: [Scienza delle costruzioni]: ancora travature 3D, chiarimenti sul segno di una coppia

Messaggioda fede_1_1 » 23/12/2023, 12:20

Salve! :D Grazie mille per la risposta super esaustiva!! Purtroppo non ho ben capito una cosa... in che modo hai sfruttato la simmetria della sezione nel calcolo del momento statico della formula di Jouraswky? :oops:

Inoltre, il punto più critico della sezione $A$ non dovrebbe essere quello sul bordo sinistro (oppure destro) e in quota corrispondente al baricentro? In quanto là agisce sforzo di taglio $\tau_{zy}$ massimo e anche $\tau_{zx}$ massimo (?)
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Re: [Scienza delle costruzioni]: ancora travature 3D, chiarimenti sul segno di una coppia

Messaggioda sellacollesella » 23/12/2023, 14:47

Dopo aver preso nota delle modifiche apportate al mio secondo messaggio, osserva che affinché le tensioni tangenziali a taglio stimate siano massime è bene che la corda prescelta abbia lunghezza minima e questo nelle sezioni in parete sottile comporta il dover percorrerle in modo tale che la corda coincida con lo spessore della sezione. Ma, se da un lato questo approccio è molto semplice nel caso di sezioni sottili aperte, dall'altro lato diventa proibitivo nel caso di sezioni sottili chiuse. D'altro canto, la si può passare liscia nel caso in cui la sezione sia soggetta a taglio parallelamente ad un asse di simmetria, in quanto nei punti d'intersezione con tale asse dei tratti di sezione ad esso perpendicolari è possibile dimostrare che la tensione tangenziale a taglio sia nulla e quindi risulti possibile partire da quei punti per applicare la rispettiva formulazione.

In tal modo, si scopre che le corde in cui la tensione tangenziale a taglio è massima corrisponde a quelle in cui \(y=0\), ossia coincidenti con l'asse baricentrico x, da cui la mia scelta nello scrivere \(\tau_{zy,G}\). Naturalmente, una volta svolti un po' di esercizi, spesso e volentieri si intuisce fin dal principio dove sono localizzate le tensioni massime, quindi per risparmiare tempo si può impostare il calcolo direttamente in quei specifici punti. D'altro canto, qualora nella medesima sezione vi fossero sia tensioni tangenziali a taglio che tensioni tangenziali a torsione è fondamentale conoscere il verso che sopra ho indicato con delle freccette verdi, perché in caso contrario non è dato sapere se andranno sommate oppure sottratte. Per cui, va benissimo risparmiare sui conti quando possibile, ma entro certi limiti, altrimenti l'errore è subito dietro l'angolo! :D
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Re: [Scienza delle costruzioni]: ancora travature 3D, chiarimenti sul segno di una coppia

Messaggioda fede_1_1 » 23/12/2023, 15:42

Ahh giusto! A pensarci adesso dopo aver letto la spiegazione, mi accorgo che il dubbio sul punto più sollecitato è davvero sciocco :lol:

Ti ringrazio davvero molto per la disponibilità ^^ Buon Natale e buona feste! :]]
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