[Fondamenti di controlli automatici], Soluzione sistema lineare con matrice fondamentale di soluzione

Buongiorno a tutti. Io ho un dubbio su questa dimostrazione.
In particolare, il mio professore vuole dimostrare che la soluzione del seguente sistema,espresso con un modello di stato,
$$
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}(t)=A(t) x(t) \\
x\left(t_0\right)=x_0
\end{array}\right.
$$
Ha come soluzione
$$
x(t)=\psi(t) \psi^{-1}\left(t_0\right) x_0
$$
dove $\psi(t)$ è la matrice fondamentale di soluzione del sistema.
La dimostrazione è la seguente
$$
\dot{x}(t)=\dot{\Psi}(t) \Psi^{-1}\left(t_0\right) x_0=A(t) \Psi(t) \Psi^{-1}\left(t_0\right) x_0=A(t) x(t)
$$
L'errore secondo me è nella seconda uguaglianza, che non può essere assunta a priori visto che è quello che dobbiamo dimostrare. Dove sbaglio? Grazie a tutti

Credo che banalmente abbia usato la definizione di matrice fondamentale $psi(t)$ ovvero quella matrice per la quale vale:

$dot psi = A(t) psi(t)$

vedi ad es. qui https://www.unife.it/ing/lm.infoauto/si ... isdin4.pdf proposizione 44.