[Elettrotecnica] Dubbi sulla linearità

[ingres]

Infatti quello che si fa è considerare un generatore impulsivo di corrente in parallelo al condensatore con condizioni iniziali nulle di quest'ultimo, così ho un sistema che ha risposta lineare e come ingresso i generatori (quello impulsivo più quello che c'era prima) e risolvo con la sovrapposizione degli effetti.

Corretto. I generatori di stato servono proprio per semplificarsi la vita e ricondursi allo stato zero.

Però il circuito era (e resta) già lineare (cioè costituito da bipoli lineari) è corretto?

Corretto. Quella è una caratteristica intrinseca del circuito a prescindere dallo stato iniziale.

[Vincenzo27]

Perfetto, ti ringrazio.

[Noodles]

Un sistema è lineare quando:
1) la risposta completa è somma della risposta con ingresso zero e con stato zero

$\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E/R),(q(0)=q_0):} -= \{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_0):} + \{((dq)/(dt)+q/(RC)=E/R),(q(0)=0):}$

2) la risposta è lineare rispetto allo stato

$\{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_(01)+q_(02)):} -= \{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_(01)):}+\{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_(02)):}$

3) la risposta è lineare rispetto all'ingresso

$\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R+E_2/R),(q(0)=0):} -= \{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R),(q(0)=0):}+\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_2/R),(q(0)=0):}$

Questo perchè la dizione di "sistema" in questo caso fa riferimento alle caratteristiche intrinseche di linearità e tempo-invarianza del circuito.

Ottimo. Mi mancava una definizione chiara ed esaustiva. Tra l'altro, in questo modo:

$\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R+E_2/R),(q(0)=q_(01)+q_(02)):} -=$

$-= \{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_(01)+q_(02)):}+\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R+E_2/R),(q(0)=0):} -=$

$-= \{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_(01)):}+\{((dq)/(dt)+q/(RC)=0),(q(0)=q_(02)):}+\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R),(q(0)=0):}+\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_2/R),(q(0)=0):}$

Cito testualmente il Kuh Desoer che, dopo aver verificato la non additività, scrive "Ciò sottolinea ancora il fatto importante che le condizioni iniziali, insieme all'equazione differenziale, caratterizzano la relazione ingresso-risposta di un circuito". Qui in pratica il "sistema" fa riferimento al circuito e alle sue condizioni iniziali, a cui sono applicati gli ingressi e da cui si ottiene una risposta completa che per quanto detto non soddisfa l'additività. Poichè spesso si confonde le proprietà della risposta di un sistema con le proprietà del sistema stesso è opportuno sottolineare che a seconda di come si definisce il "sistema" possono non essere la stessa cosa.

Ottimo. Sta trattando l'eccezione di cui si discuteva in precedenza.

Quello che non vale è che la risposta completa sia lineare rispetto alle risposte complete in presenza di condizioni iniziali non nulle.

Immagino che tu intenda:

$\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R+E_2/R),(q(0)=q_0):} ne \{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_1/R),(q(0)=q_0):}+\{((dq)/(dt)+q/(RC)=E_2/R),(q(0)=q_0):}$

Del resto:

L'esempio corretto deve essere fatto a parità di stato iniziale ...

Se non mi sono perso qualcosa direi che ci sono. Senza una dritta avrei fatto non poca fatica a sintetizzare in modo pulito e corretto. Grazie.

[ingres]

Ottima sintesi!