[scienza delle costruzioni] Esercizio Tensore di Sforzo

[SimoAgo2]

Salve a tutti,
Potete aiutarmi a risolvere l'esercizio che è nell'immagine?
Il secondo punto può essere fatto senza i cerchi di Mohr?
Grazie mille a tutti

[xnix]

dunque moltiplichi il vettore $u$ per la matrice $\phi=\sigma_{i,j} u/||u||$ per ottenere lo lo sforzo normale relativo alla

faccia ortogonale al vettore. per ottenere il parallelo $\phi^(||) = \phi u/||u||$ , l'ortogonale è $\phi-\phi^(||)$

per il secondo punto, lo sforzo tangenziale massimo appartiene alla sotto matrice $\sigma_{i,j} =((p,q),(q,0))$ ed il valore massimo dovrebbe essere proprio $q$ se non vado errando..

[SimoAgo2]

Ma quindi posso prendere un minore della matrice anche se la sigma z è diversa da zero?

[xnix]

$\tau_(max,min) = +- sqrt((\sigma_x - \sigma_y)^2 - 4(\tau_(xy))^2)$ cosi si ricava il valore anche per il circolo di mohr

da dove si ha anche che:

$\tau_max = (\sigma_1 - \sigma_2)/2$ , $\sigma_1$ e $\sigma_2$ sono gli autovalori del tensore
leggi da pagina 9 in poi: http://www.ingaero.uniroma1.it/attachme ... i%20CS.pdf

[eugeniobene58]

la tensione tangenziale massima secondo me si fa molto bene con il cerchio di Mohr, in modo da evitare anche errori.

sinceramente non penso sia $q$, ma perchè facendo i conti con i numeri viene $5/2 \frac{N}{cm^2}$

io non so come disegnare i cerchi di Mohr direttamente da quella matrice, comunque fare un'analisi spettrale per trovare gli autovalori non è complicato e a quel punto hai completamente caratterizzato la tensione

[xnix]

io non so come disegnare i cerchi di Mohr direttamente da quella matrice

si prende la matrice del tensore delle tensioni e si divide in tre sotto matrici dalle quali si calcolano gli autovalori da questi avrai 3 autovalori essendo la matrice simmetrica avremo tre soluzioni reali, una maggiore dell'altra, per cui è facile riportare i punti sul piano delle tensioni e tracciare i tre cerchi che avranno raggio $(\sigma_1-\sigma_2)/2 , (\sigma_2-\sigma_3)/2 , (\sigma_1-\sigma_3)/2$ se considero lo stato di tensione:

$((\sigma_1,0,0),(0,\sigma_2,0),(0,0,\sigma_3))$

ma nel caso in esame dato che un autovalore è nullo il cerchio è solo 1. la $\tau_max$ è pari al raggio del cerchi

[eugeniobene58]

spero di aver sbagliato i conti, ma a me vengono -2 1 e 3 gli autovalori con i numeri dell'esercizio....

[eugeniobene58]

comunque ho ricontrollato con wolfram alpha

http://www.wolframalpha.com/input/?i=ei ... %2C1%7D%29

[xnix]

ah non mi ricordavo il $p$ come ultimo termine , dato che non è immediatamente visibile il tensore, per cui è uno stato tri-assiale (modificato) di tensione ed è possibile disegnare l'arbelo di mohr.
comunque anche meglio per chi legge il post almeno sa come comportarsi in caso di autovalore nullo

[eugeniobene58]

Veramente quello in esame è triassiale