Consider the ‘central server system’ shown in Figure 7.5.
If there are only two I/O queues, i.e. I/O 1 and I/O 2 and $p_0 = 0.125$, $p_1 = 0.375$, $p_2 = 0.5$, calculate the following performance measures using the convolution algorithm for $N = 4$ and show that the service rates of both I/O 1 and 2 are only one-eighth that of the CPU queue:
(i) the marginal queue lengths of each queue in the network;
(ii) the mean number of jobs at each queue;
(iii) the marginal throughput of each queue;
(iv) the mean waiting time at each queue.
La mia soluzione è la seguente, chiedo però conferma a voi:
Probabilmente c'è un errore nel testo del problema: affrontarlo senza ipotizzare i tassi di servizio alle 3
code uguali e distribuiti esponenzialmente con media $μ^(−1)$ porta a calcoli inutilmente complicati. Inoltre
probabilmente chiede la verifica che il throughput, e non i tassi di servizio, delle due code di I/O insieme,
siano 7/8 di quello della CPU.
Dunque assegniamo: CPU −> Queue 1, dispositivo I/O 1 −> Queue 2, dispositivo I/O 2 −> Queue 3.
Partiamo osservando il bilanciamento del flusso: $e_2 = p_1e_1$, $e_3 = p_2e_1$, $e_1 = e_2 + e_3 + p_0e_1$.
Se, come anticipato, supponiamo i tempi di servizio alle 3 code uguali e distribuiti con media $μ^(−1)$, e, senza perdita di generalità, supponiamo $e_1 = μ$, avremo: $e_1/μ_1 = 1$, $e_2/μ_2 = 3/8$, $e_3/μ_3 = 1/2$.
Possiamo adesso ricavare la tabella con i valori delle costanti di normalizzazione usando l'algoritmo di convoluzione:
Adesso calcoliamo i parametri richiesti.
(i) Marginal Queue Lengths (per N = 4):
$P_1(4) = 1^4 [2.453 - 1.875] / 2.986 = 0.19$
$P_2(4) = (3/8)^4 [2.453 - 0.703] / 2.986 = 0.01$
$P_3(4) = (1/2)^4 [2.453 - 0.937] / 2.986 = 0.03$
(ii) Mean number of jobs at each queue:
$E[N_1] = 2.72$, $E[N_2] = 0.51$, $E[N_3] = 0.77$
(iii) Marginal Throughput at each queue:
$Ψ_1(4) = 0.936μ$, $Ψ_2(4) = 0.351μ$, $Ψ_3(4) = 0.468μ$
(iv) Mean Waiting Time:
$Τ_1 = 2.9μ^(−1)$, $Τ_2 = 1.45μ^(−1)$, $Τ_3 = 1.65μ^(−1)$.
Guardando ai throughput delle 3 code, si vede che la somma dei throughput delle code 2 e 3 è pari a 7/8 del throughput della coda 1.
Siete d'accordo? Vedete errori?
Grazie a tutti
