[Metodi matematici]

Messaggioda w3ns » 04/11/2023, 17:10

Salve a tutti!
Sto facendo alcuni esercizi sulla trasformata di Fourier. In particolare:

$ f(x) = x in [-1,0] $

$ f(x) = sin (pi/2x) in [-1,0] $

voglio utilizzare la forma complessa, il mio $ omega =2pi $ e $ L =1 $ (giusto?)

quindi imposto il calcolo per il

$ cn =1/2int_(-1)^(0) xe^(-2pi*i*n*x) dx + 1/2int_(0)^(1) sin(pi/2x)e^(-2pi*i*n*x) dx $

il cui risultato mi da

$ 1/(4pin) + ((32n^2)*(4*i*n-1))/((16n^2-1)*(16*pi^2) $

corretto? Grazie.
w3ns
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Re: [Metodi matematici]

Messaggioda Quinzio » 04/11/2023, 19:01

Salve,
perche' le funzioni si chiamano tutte e due $f(x)$ ?
Perche' la seconda $f(x)$ e' definita da $-1$ a $0$ e poi l'integrale e' tra $0$ e $1$ ?
Quinzio
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Re: [Metodi matematici]

Messaggioda w3ns » 05/11/2023, 16:10

Salve!
la funzione è definita su due intervalli.
posto la foto del testo magari è più chiara di come l'ho riportata io



Immagine

ho notato ora di aver scritto in modo errato l'intervallo di diefninzione
w3ns
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Re: [Metodi matematici]

Messaggioda Quinzio » 05/11/2023, 18:01

w3ns ha scritto:Salve!
la funzione è definita su due intervalli.
posto la foto del testo magari è più chiara di come l'ho riportata io

Immagine

ho notato ora di aver scritto in modo errato l'intervallo di diefninzione


Benissimo. Avevo avuto il timore che la funzione fosse effettivamente quella che si vede nell'immagine.
Allora la tua formula e' impostata male. Ricontrolla l'esponenziale complesso.

Si prende la formula per il calcolo dei $c_n$ ades. da Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series (la tua va bene, comunque)
$${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{-P/2}^{P/2}s(x)e^{-{\frac {2\pi inx}{P}}}\,dx\qquad {\text{for all integers}}~n}$$
con $P = 2$
$${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}s(x)e^{-{\pi inx}}\,dx\qquad {\text{for all integers}}~n}$$
$${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2}}\left(\int _{-1}^{0}xe^{-{\pi inx}} + \int _{0}^{1}\sin(x\ \pi /2 )e^{-{\pi inx}} \right) \,dx\qquad {\text{for all integers}}~n}$$
Quinzio
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Re: [Metodi matematici]

Messaggioda w3ns » 05/11/2023, 18:13

si, rivedendo la teoria ho capito l'errore impostando i valori sull'esponenziale. Dai calcoli risulta:

$ c0 = 1/pi - 1/4 $

$ cn = i/(2npi)e^(pii*n)+1/(2n^2pi^2) (1-e^(ipi*n))+(4i*n)/(pi(4n^2-1))*e^(-ipi*n) -2/(pi(4n^2-1) $

Grazie!
w3ns
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