Data la seguente
struttura isostatica:
\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)
al solito, la svincoliamo e introduciamo le rispettive
reazioni vincolari:
\(\quad\quad\quad\quad\quad\;\,\)
quindi, imponiamo l'
equilibrio sia alla traslazione che alla rotazione rispetto ai tre assi cartesiani: \[
\begin{cases}
F_x = 0 \\
F_y = 0 \\
F_z+P = 0 \\
M_x = 0 \\
M_y-P(4L)+4PL = 0 \\
M_z = 0 \\
\end{cases}
\quad \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad \quad
\begin{cases}
F_x = 0 \\
F_y = 0 \\
F_z = -P \\
M_x = 0 \\
M_y = 0 \\
M_z = 0 \\
\end{cases}.
\] Ciò fatto, tagliamo la travatura nelle seguenti tre sezioni rette:
\(\quad\quad\;\)
e imponendo i rispettivi
equilibri otteniamo le
caratteristiche della sollecitazione interna: \[
\begin{aligned}
& \begin{cases}
T_{AB,x}(s) = 0 \\
T_{AB,y}(s) = -P \\
N_{AB}(s)= 0 \\
M_{AB,x}(s) = -Ps \\
M_{AB,y}(s) = 0 \\
M_{AB,z}(s) = 0 \\
\end{cases}
\quad \text{con} \; 0 \le s \le 4L\,; \\
\\
& \begin{cases}
T_{CB,x}(s) = 0 \\
T_{CB,y}(s) = 0 \\
N_{CB}(s)= 0 \\
M_{CB,x}(s) = 0 \\
M_{CB,y}(s) = 0 \\
M_{CB,z}(s) = 4PL \\
\end{cases}
\quad \text{con} \; 0 \le s \le 2L\,; \\
\\
& \begin{cases}
T_{DC,x}(s) = 0 \\
T_{DC,y}(s) = 0 \\
N_{DC}(s)= 0 \\
M_{DC,x}(s) = -4PL \\
M_{DC,y}(s) = 0 \\
M_{DC,z}(s) = 0 \\
\end{cases}
\quad \text{con} \; 0 \le s \le 2L\,. \\
\end{aligned}
\] Pertanto, tenendo conto che le sezioni rette di tale travatura sono del tipo:
\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)
dove il sistema di riferimento centrale d'inerzia è banalmente individuato per simmetria e: \[
J_x = 2\left[\frac{b(2s)^3}{12}+(2\,b\,s)\left(\frac{h}{2}\right)^2+\frac{s\,h^3}{12}+(h\,s)(0)^2\right] = 4.74\cdot 10^7\,mm^4
\] nella sezione retta \(A\) calcoliamo le tensioni tangenziali a taglio applicando la
formula di Jourawsky: \[
\begin{aligned}
& \tau_{AB}(\xi) = \frac{T_y}{J_x}\,\frac{-(2\,s\,\xi)(h/2)}{2\,s} = 0.0240292\,\xi\,; \\
& \tau_{BC}(\xi) = \frac{T_y}{J_x}\,\frac{-(2\,s\,b/2)(h/2)-(s\,\xi)(h/2-\xi/2)}{s} = 2.73933 + 0.0240292\,\xi - 0.000105391\,\xi^2; \\
\end{aligned}
\] che diagrammate tenendo conto delle proprietà simmetriche di cui gode la sezione portano a:
\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)
Quindi, la
tensione ideale secondo Von Mises nel punto più sollecitato risulta pari a: \[
\sigma_{id,VM} = \sqrt{3}\left|\tau_{zy,G}\right| = 7.12\,MPa
\] che essendo minore della
tensione ammissibile \(\sigma_{\text{adm}}=240\,MPa\), la verifica è soddisfatta.
D'altro canto, in una generica sezione di \(CB\), calcolate le tensioni tangenziali a torsione alla
Bredt:
\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)
la
tensione ideale secondo Von Mises nel punto più sollecitato risulta pari a: \[
\sigma_{id,VM} = \sqrt{3}\left|\tau_{zy,G}\right| = 444\,MPa
\] che essendo maggiore della
tensione ammissibile \(\sigma_{\text{adm}}=240\,MPa\), la verifica non è soddisfatta.
Ah giusto, è sinistrorso! Lo fixerei "girando" l'asse $y$, ossia ponendo la sua punta nel verso opposto a quello in figura.
